4a⁻¹⁰ × a × d を、指数がすべて正になるように簡単にせよ。

Step-by-step solution

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   隠れた指数を見つける。 単独の $a$ は実は $a^{1}$ であり、指数 $1$ が書かれていないだけである。これを明示することで指数法則が使えるようになる：

   $4a^{-10}\cdot a^{1}\cdot d$

   因数 $4$ と $d$ には $a$ が含まれないので、この段階では傍観者にすぎない。

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   共通の底の指数を足す。 積の法則 $a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$ が使えるのは、同じ底のべき乗どうしに限る：

   $a^{-10}\cdot a^{1}=a^{-10+1}=a^{-9}$

   指数は掛けるのではなく足す。$a^{-10}\cdot a^{1}$ は $a^{-10}$ ではない。式はいま $4a^{-9}d$ になっている。

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   負の指数を直す。 定義より $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$ なので、負の指数はその因数が分数の線の反対側に属することを示している：

   $4a^{-9}d=\frac{4d}{a^{9}}$

   動くのは $a$ だけである。$4$ と $d$ はすでに正の指数をもつので分子に残る。係数 $4$ まで一緒に下ろしてしまうのがよくある誤りである。

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   定義域の制限を述べる。 もとの式には $a^{-10}$ が含まれ、これは $a=0$ では定義されない。$\dfrac{4d}{a^{9}}$ も同じくそこで定義されず、両者は一貫している。この簡約はすべての $a\neq0$ とすべての $d$ について正しい。

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   数値で検算する。 $a=1.3,\,2.7,\,-1.9$ と $d=2,\,-3.5$ で $4a^{-10}\cdot a\cdot d$ と $\dfrac{4d}{a^{9}}$ を比べると、6 通りすべてで $10^{-9}$ 以内に一致する ✓。奇数の指数 $9$ は $a$ の符号を保つので、$a<0$ かつ $d>0$ のとき結果は負になる。