指数を含む式 (x⁵y⁶z³ / (x⁻⁵y⁻⁶z⁻³))⁻² を簡単にせよ。文字は 0 でない実数とする。

Step-by-step solution

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   外側のべき乗を適用する前に、括弧の中を簡単にする。 ここでは 2 つの指数法則が注意を奪い合っており、符号を正しく保つには順序が重要である。まず分数を 1 つの単項式に潰し、そのあとで $-2$ を 1 度だけ扱う。分数に使う道具は商の法則である：

   $\frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$

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   二重の負号に注意しながら、文字ごとに指数を引く。 分母の指数はどれも負なので、それを引くことは足すことになる：

   $\frac{x^{5}}{x^{-5}}=x^{5-(-5)}=x^{10},\qquad \frac{y^{6}}{y^{-6}}=y^{6-(-6)}=y^{12},\qquad \frac{z^{3}}{z^{-3}}=z^{3-(-3)}=z^{6}$

   したがって式はいま次の形である。

   $\left(x^{10}y^{12}z^{6}\right)^{-2}$

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   べき乗の法則で外側の指数を分配する。 $\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}$ であり、積のべき乗は各因数をべき乗するので、すべての指数に $-2$ が掛かる：

   $x^{10(-2)}y^{12(-2)}z^{6(-2)}=x^{-20}y^{-24}z^{-12}$

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   負の指数を正の指数の形に直す。 負の指数は逆数を意味し、$a^{-k}=\dfrac{1}{a^{k}}$ なので、3 つの因数はすべて 1 つの分母に落ちる：

   $x^{-20}y^{-24}z^{-12}=\frac{1}{x^{20}y^{24}z^{12}}$

   問題が文字は 0 でないとことわっているのはこのためである。そうでなければ逆数が定義されない。

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   数値で検算する。 もとの式に $x=1.3$、$y=0.7$、$z=2.1$ を代入すると $0.0037337776928081$ となり、簡単にした形 $1/(x^{20}y^{24}z^{12})$ も同じ $0.0037337776928081$ を与える。倍精度いっぱいまで一致するので、指数の勘定は正しい。