2 − (a − b)/(a + b) × (3 − (a + 2b)/(a + b)) の −1 乗 × (2a + b) − 3b を簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   内側から外へ向かって進める。 指数 $-1$ は括弧全体に掛かっているので、逆数を取る前にその括弧を 1 つの分数にまとめなければならない。これが済むまでは、ほかに簡単にできることは何もない。

   $3-\frac{a+2b}{a+b}=\frac{3(a+b)-(a+2b)}{a+b}$

2. 2

   内側の括弧の分子を展開する。

   $3(a+b)-(a+2b)=3a+3b-a-2b=2a+b$

   したがって括弧は $\dfrac{2a+b}{a+b}$ に等しい。ここで $2a+b$ が現れること、しかもそれが項全体に掛かっている因数と同じであることが、すべてが約分される合図である。

3. 3

   括弧を逆数にする。 分数の $-1$ 乗は、分子と分母を入れ替えるだけである：

   $\left(\frac{2a+b}{a+b}\right)^{-1}=\frac{a+b}{2a+b}$

4. 4

   積全体を約分する。

   $\frac{a-b}{a+b}\cdot\frac{a+b}{2a+b}\cdot(2a+b)=a-b$

   $a+b$ も $2a+b$ もそっくり約分されるので、3 つの因数の積が 2 項式 $a-b$ 1 つに潰れる。

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   外側の計算を仕上げる。

   $2-(a-b)-3b=2-a+b-3b=2-a-2b$

   括弧の前のマイナスは中の符号を両方とも反転させる。ここが誤りの入り込む最後の場所である。

6. 6

   数値で検算する。 $(a,b)=(3,5)$ ではもとの式が $-11$ になり、$2-a-2b=2-3-10=-11$ ✓。$(a,b)=(2.2,-1.7)$ ではどちらも $3.2$ になる ✓（$a+b\neq0$ かつ $2a+b\neq0$ なので有効）。