(a − 2b)² + 8ab を簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   平方を展開する。 $p=a$、$q=2b$ として $(p-q)^2=p^2-2pq+q^2$ を使う：

   $(a-2b)^2=a^2-2(a)(2b)+(2b)^2=a^2-4ab+4b^2$

2. 2

   残りの項を足して同類項をまとめる。 影響し合うのは $ab$ の項だけである：

   $a^2-4ab+4b^2+8ab=a^2+4ab+4b^2$

   $-4ab+8ab=4ab$ だからである。

3. 3

   結果が完全平方であることを見抜く。 いまや $a^2$、$4b^2=(2b)^2$、そして真ん中の項 $2\cdot a\cdot 2b=4ab$ がすべて和の平方の形にあてはまる：

   $a^2+4ab+4b^2=(a+2b)^2$

4. 4

   構造的な理由を押さえる。 2 つの平方 $(a\pm 2b)^2$ の差はちょうど $2\cdot 2\cdot(a)(2b)=8ab$ である：

   $(a+2b)^2-(a-2b)^2=8ab$

   したがって差の平方に $8ab$ を足せば、必ず和の平方になる。この恒等式がこの問題の背後にある一般的な事実である。

5. 5

   数値で確かめる。 $a=3$、$b=1$ のとき、もとの式は $(3-2)^2+24=1+24=25$ となり、$(3+2)^2=25$ $\checkmark$ である。