(x + 3)² + (x − 2)² − 2(x + 3)(x − 2) を簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   3 つの項を既知の公式に当てはめる。 並びは「2 乗、もう 1 つの 2 乗、そして 2 つの底の積の 2 倍を引いたもの」である。つまり

   $A^2 + B^2 - 2AB = (A-B)^2$

   これを逆向きに使う。この式はすでに、1 つの 2 乗を展開した形になっている。

2. 2

   2 つの底を決める。 ここでは

   $A = x+3, \qquad B = x-2$

   である。中央の項を確かめると $2AB = 2(x+3)(x-2)$ で、これはまさに引かれている式なので、この公式は手直しなしで使える。

3. 3

   A − B を計算する。二重の負号に注意する。

   $A - B = (x+3) - (x-2) = x + 3 - x + 2 = 5$

   どちらの底も最高次の係数が $1$ なので $x$ の項は打ち消し合う。答えが $x$ にまったく依存しなくなるのは、このためである。

4. 4

   結果を 2 乗する。

   $(A-B)^2 = 5^2 = 25$

   よってこの式は、$x$ のどの値に対しても定数 $25$ である。

5. 5

   力ずくの展開で確かめる。 項ごとに書き出す：

   $(x^2 + 6x + 9) + (x^2 - 4x + 4) - 2(x^2 + x - 6)$

   $= 2x^2 + 2x + 13 - 2x^2 - 2x + 12 = 25$

   $x^2$ の列も $x$ の列も消え、定数になることが確かめられる。$x = 0$ で試すと $9 + 4 - 2(-6) = 25$ となり、これも合っている。