a² + 4a + 4 を因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   2 つの平方を見つける。 最高次の項はすでに平方であり、定数項も平方である：

   $a^2=(a)^2,\qquad 4=2^2$

2. 2

   中央の項を $2ab$ と照合する。 $a$ と $b=2$ について

   $2\cdot a\cdot 2=4a$

   となり、これはまさに現れている項なので、この三項式は $a^2+2ab+b^2$ に当てはまる。

3. 3

   公式を当てはめる。

   $a^2+4a+4=(a+2)^2$

4. 4

   ふつうの因数分解でも突き合わせる。 積が $4$、和が $4$ になる 2 数を探すと $2$ と $2$ になるので、因数分解は $(a+2)(a+2)$——同じ答えである。同じ因数が重なることがつねに完全平方式の合図になるのは、このためである。

5. 5

   展開して確かめる。 $(a+2)^2=a^2+2a+2a+4=a^2+4a+4$ $\checkmark$。値を代入するのも手早い検算である。$a=3$ では三項式が $9+12+4=25$、$(3+2)^2=25$ $\checkmark$。