(y − x)²(x + y)² − (x − y)²(x + y) を完全に因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   2 つの 2 項式の形をそろえる。 1 つ目の項には $(y-x)^{2}$ が、2 つ目には $(x-y)^{2}$ が含まれている。$y-x=-(x-y)$ であり、2 乗すると符号が消えるので

   $(y-x)^{2}=(-(x-y))^{2}=(x-y)^{2}.$

   である。1 つ目の項を $(x-y)^{2}$ で書き直すと共通の構造が見えてくる。この一手がないと、共通因数をまるごと見落としやすい。

2. 2

   そろえた形で式を書き直す。 問題は次のようになる。

   $(x-y)^{2}(x+y)^{2}-(x-y)^{2}(x+y).$

   これで、どちらの項も $(x-y)^{2}$ と $(x+y)$ を少なくとも 1 つずつ、目に見える形で含んでいる。

3. 3

   最大公約因数を見つける。 2 つの項を因数ごとに比べると、$(x-y)$ はどちらにも 2 乗で現れ、$(x+y)$ は 1 つ目の項では 2 乗、2 つ目の項では 1 乗でしか現れない。最大公約因数はそれぞれの低いほうのべきを取る：

   $\text{最大公約因数}=(x-y)^{2}(x+y).$

4. 4

   それをくくり出す。 各項を最大公約因数で割ると、1 つ目からは $(x+y)$ が、2 つ目からは $1$ が残る：

   $(x-y)^{2}(x+y)^{2}-(x-y)^{2}(x+y)=(x-y)^{2}(x+y)\left[(x+y)-1\right].$

   この $1$ が最も落とされやすい部分である。最大公約因数を取り除いても 2 つ目の項は消えるのではなく、$1$ になる。

5. 5

   答えを述べ、数値で確かめる。 完全な因数分解は

   $(x-y)^{2}(x+y)(x+y-1),$

   であり、3 つの因数はどれも有理数の範囲でこれ以上分解できない。$x=2.4$、$y=1.1$ で確かめると、もとの式は $14.7875$、因数分解した形も $14.7875$ を与える ✓。もう 1 組の乱数でも 9 桁まで一致する。