(x + 4)² − (x² + 8x + 16) を簡単にせよ。

Step-by-step solution

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   平方の公式で 2 乗を展開する。 公式 $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ に $a=x$、$b=4$ を代入すると

   $(x+4)^{2}=x^{2}+2(x)(4)+4^{2}=x^{2}+8x+16.$

   中央の項は $2\cdot x\cdot 4=8x$ であって $4x$ ではない。$2$ という因数を忘れることが、ここでの展開ミスとしては群を抜いて多い。

2. 2

   括弧の中が同じ 3 項式であることに気づく。 式は今や

   $\left(x^{2}+8x+16\right)-\left(x^{2}+8x+16\right),$

   つまり「ある量からそれ自身を引いたもの」になっている。これに即座に気づくほうが式変形を延々と進めるより速く、しかも計算する前に答えの理由まで説明してくれる。この問題は要するに、$x^{2}+8x+16$ が $(x+4)^{2}$ の展開かどうかを問うているのである。

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   マイナス符号をすべての項に配る。 念のため書き下すと：

   $x^{2}+8x+16-x^{2}-8x-16.$

   括弧の中の 3 つの符号がすべて反転する。よくある取り違えとして最初の項だけを変えてしまうと、$0$ ではなく $16x+32$ が残ってしまう。

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   同類項をまとめる。 次数ごとに組にする：

   $(x^{2}-x^{2})+(8x-8x)+(16-16)=0+0+0=0.$

   この式は定数 $0$ に簡単になる。

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   結果を解釈する。 値はすべての実数 $x$ に対して $0$ なので、これは解くべき方程式ではなく恒等式である。$x=3$ で確かめると $(3+4)^{2}=49$、$9+24+16=49$ で差は $0$ ✓。$x=-1$ では $9$ と $1-8+16=9$ で差は $0$ ✓。2 つの試験値が一致するのは当然である。2 つの式は文字どおり同じ多項式なのだから。