(x² + xy + y²)² − 4xy(x² + y²) を完全に因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   平方をていねいに展開する。 $a=x^{2}$、$b=xy$、$c=y^{2}$ として $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$ を使うと：

   $\left(x^{2}+xy+y^{2}\right)^{2}=x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}+2x^{3}y+2x^{2}y^{2}+2xy^{3}=x^{4}+2x^{3}y+3x^{2}y^{2}+2xy^{3}+y^{4}.$

   $2ac=2x^{2}y^{2}$ が $b^{2}=x^{2}y^{2}$ と合わさって係数 $3$ になることに注意する。

2. 2

   2 つ目のかたまりを引く。 $4xy\left(x^{2}+y^{2}\right)=4x^{3}y+4xy^{3}$ なので

   $x^{4}+2x^{3}y+3x^{2}y^{2}+2xy^{3}+y^{4}-4x^{3}y-4xy^{3}=x^{4}-2x^{3}y+3x^{2}y^{2}-2xy^{3}+y^{4}.$

   符号が変わるのは奇数次の交差項 2 つだけである。結果は依然として $x$ と $y$ について対称であり、係数 $1,-2,3,-2,1$ は回文の並びになっている。

3. 3

   回文的な構造を利用する。 両端の係数が等しい対称な 4 次式なら、次の形を試すのが自然である。

   $\left(x^{2}+axy+y^{2}\right)\left(x^{2}+bxy+y^{2}\right)=x^{4}+(a+b)x^{3}y+(ab+2)x^{2}y^{2}+(a+b)xy^{3}+y^{4}.$

   この形では $x^{3}y$ と $xy^{3}$ の係数が等しく出るが、それはまさに目標の式が持つ性質であり、この仮定の形が正しいことを示している。

4. 4

   係数を比較して解く。 $1,-2,3,-2,1$ と比べると：

   $a+b=-2,\qquad ab+2=3\ \Rightarrow\ ab=1.$

   和が $-2$、積が $1$ になる組は $a=b=-1$ である（判別式が $4-4=0$ なので 2 解は一致する）。したがって 2 つの因数は同じものになる：

   $x^{4}-2x^{3}y+3x^{2}y^{2}-2xy^{3}+y^{4}=\left(x^{2}-xy+y^{2}\right)^{2}.$

5. 5

   恒等式として書き、検算する。 よって

   $\left(x^{2}+xy+y^{2}\right)^{2}-4xy\left(x^{2}+y^{2}\right)=\left(x^{2}-xy+y^{2}\right)^{2}.$

   因数 $x^{2}-xy+y^{2}$ は $(x,y)\ne(0,0)$ を満たすすべての実数について正なので、式全体は完全平方であり負になることはない。$(x,y)=(2.4,1.1)$ での数値検算では両辺とも $18.7489$ になる ✓。さらに 3 組の乱数でも 9 桁まで一致する。