(2x + 1)/(x + 5) - (3x - 2)/(x + 4) を 1 つの分数にまとめよ。

Step-by-step solution

1. 1

   共通分母を作る。 2 つの分母 $x+5$ と $x+4$ は共通因数を持たないので、最小公倍の分母はその積 $(x+5)(x+4)$ である。それぞれの分数の分子と分母に、もう一方の分母を掛けて書き直す。

   $\frac{2x+1}{x+5}=\frac{(2x+1)(x+4)}{(x+5)(x+4)},\qquad \frac{3x-2}{x+4}=\frac{(3x-2)(x+5)}{(x+5)(x+4)}.$

   あわせて $x\ne-5$、$x\ne-4$ という制約にも注意する。これは最終的な答えにも引き継がれる。

2. 2

   1 つ目の分子を展開する。 分配して

   $(2x+1)(x+4)=2x^{2}+8x+x+4=2x^{2}+9x+4.$

   一次の係数は $8+1=9$ である。この 2 つの同類項を先にまとめておけば、扱いにくい 4 項の式を引きずらずに済む。

3. 3

   2 つ目の分子を展開する。 同様に

   $(3x-2)(x+5)=3x^{2}+15x-2x-10=3x^{2}+13x-10.$

   定数項に注意したい。$(-2)(+5)=-10$ であって $+10$ ではない。

4. 4

   マイナスを 3 項すべてに分配して引く。 誤りが集中するのはこの手順である。

   $\left(2x^{2}+9x+4\right)-\left(3x^{2}+13x-10\right)=2x^{2}+9x+4-3x^{2}-13x+10.$

   2 つ目のかっこの中の符号はすべて反転し、$-10$ も $+10$ になる。同類項をまとめると

   $-x^{2}-4x+14.$

   となる。

5. 5

   結果を書き、数値で検算する。 簡単にした式は

   $\frac{-x^{2}-4x+14}{(x+5)(x+4)}=-\frac{x^{2}+4x-14}{(x+5)(x+4)},\qquad x\ne-5,\,-4.$

   である。分子は有理数の範囲で因数分解できない（判別式が $16+56=72$）ので、約分は起こらない。$x=2$ での数値検算では、元の式が $\tfrac57-\tfrac46=0.7143-0.6667=0.04762$、答えの式が $\tfrac{-4-8+14}{7\cdot 6}=\tfrac{2}{42}=0.04762$ ✓。