繁分数 [(6y² + y − 1)/(4y² + 4y + 1)] ÷ [(3y² + 2y − 1)/(2y² − 7y − 4)] を簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   繁分数を割り算として読む。 分子も分母もそれ自身が分数である分数は、次を意味している。

   $\frac{6y^{2}+y-1}{4y^{2}+4y+1}\div\frac{3y^{2}+2y-1}{2y^{2}-7y-4}$

2. 2

   4 つの 2 次式をすべて因数分解する。

   $6y^{2}+y-1=(3y-1)(2y+1),\qquad 4y^{2}+4y+1=(2y+1)^{2}$

   $3y^{2}+2y-1=(3y-1)(y+1),\qquad 2y^{2}-7y-4=(2y+1)(y-4)$

   $4y^{2}+4y+1$ が完全平方であることに注意。これに気づけば、たすきがけを 1 回分省ける。

3. 3

   割る式を逆数にして組み立てる。

   $\frac{(3y-1)(2y+1)}{(2y+1)^{2}}\cdot\frac{(2y+1)(y-4)}{(3y-1)(y+1)}$

4. 4

   順序よく約分する。 因数分解した形を掛け合わせると、分子は $(3y-1)(2y+1)^{2}(y-4)$、分母は $(2y+1)^{2}(3y-1)(y+1)$ である。$(3y-1)$ も $(2y+1)^{2}$ も上下に現れるので、完全に約分できる：

   $\frac{(3y-1)(2y+1)^{2}(y-4)}{(2y+1)^{2}(3y-1)(y+1)}=\frac{y-4}{y+1}$

   $\boxed{\dfrac{y-4}{y+1}}\qquad\left(y\neq -\tfrac12,\ \tfrac13,\ -1,\ 4\right)$

5. 5

   検算用の値で確かめる。 $y=0$ では、上の分数が $\tfrac{-1}{1}=-1$、下の分数が $\tfrac{-1}{-4}=\tfrac14$ なので、商は $-1\div\tfrac14=-4$ である。答えの式も $\tfrac{-4}{1}=-4$ ✓ を与える。

6. 6

   除外される値に注意する。 目に見えている $y=-1$ のほかに、もとの式は $y\neq-\tfrac12$（内側の分数の分母がどちらも 0 になる）、$y\neq\tfrac13$ と $y\neq 4$（割る式が 0 にも未定義にもならないため）も要求する。