(9 − a²)/(a² − 8a + 15) を (2a² − 10a)/(a² − 10a + 25) で割り、簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   逆順の 2 乗の差に気をつけながら、すべての 2 次式を因数分解する。 分子の $9-a^{2}$ は $a^{2}-9$ の符号を反転したものなので、マイナスを書き留めておくことが決定的に重要である：

   $9-a^{2}=-(a-3)(a+3)$

   $a^{2}-8a+15=(a-3)(a-5),\qquad 2a^{2}-10a=2a(a-5),\qquad a^{2}-10a+25=(a-5)^{2}$

2. 2

   割り算を、逆数を掛ける形に直す。

   $\frac{-(a-3)(a+3)}{(a-3)(a-5)}\cdot\frac{(a-5)^{2}}{2a(a-5)}$

3. 3

   最初の 1 組の因数を約分する。 $(a-3)$ が約分され、

   $\frac{-(a+3)}{a-5}\cdot\frac{(a-5)^{2}}{2a(a-5)}$

   が残る。

4. 4

   (a − 5) の因数を約分する。 上に 2 つ、下に 2 つあるので、完全に消える：

   $\frac{-(a+3)}{2a}$

   $\boxed{-\dfrac{a+3}{2a}}\qquad(a\neq 0,3,5)$

5. 5

   テスト値で確かめる。 $a=1$ のとき、もとの式は $\dfrac{8}{8}\div\dfrac{-8}{16}=1\div\left(-\tfrac12\right)=-2$ で、答えからは $-\tfrac{4}{2}=-2$ ✓。$9-a^{2}$ のマイナスを落としていたら $+2$ になっていたので、代入による検算がその誤りをすぐに捕まえてくれる。