(a² − 3a − 18)/(2a² − 11a − 6) を (a² + a − 6)/(2a² − a − 1) で割り、簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   モニックな 2 つの 2 次式を因数分解する。 $a^{2}-3a-18$ については積が $-18$、和が $-3$ になる数を、$a^{2}+a-6$ については積が $-6$、和が $1$ になる数を探す：

   $a^{2}-3a-18=(a-6)(a+3),\qquad a^{2}+a-6=(a+3)(a-2)$

2. 2

   モニックでない 2 つの 2 次式を ac 法で因数分解する。 $2a^{2}-11a-6$ では $ac=-12$ で、$-12$ と $1$ の和が $-11$ になる。$2a^{2}-a-1$ では $ac=-2$ で、$-2$ と $1$ の和が $-1$ になる：

   $2a^{2}-11a-6=(2a+1)(a-6),\qquad 2a^{2}-a-1=(2a+1)(a-1)$

3. 3

   割る式を逆数にして、すべて因数分解した形で書く。

   $\frac{(a-6)(a+3)}{(2a+1)(a-6)}\cdot\frac{(2a+1)(a-1)}{(a+3)(a-2)}$

4. 4

   積全体をまたいで約分する。 分数の積では、どの分子の因数もどの分母の因数とも約分できる。$(a-6)$、$(2a+1)$、$(a+3)$ はそれぞれ上に 1 回、下に 1 回現れている：

   $\frac{a-1}{a-2}$

   $\boxed{\dfrac{a-1}{a-2}}\qquad\left(a\neq 6,\ -\tfrac12,\ -3,\ 2\right)$

5. 5

   テスト値で確かめる。 $a=0$ のとき、もとの式は $\dfrac{-18}{-6}\div\dfrac{-6}{-1}=3\div 6=\tfrac12$ で、答えからは $\dfrac{-1}{-2}=\tfrac12$ ✓。

6. 6

   除外すべき値をすべて書き留める。 最終形から見えるのは $a=2$ だけだが、$a=6$、$a=-\tfrac12$、$a=-3$ も、もとの式の分母と、割る式がゼロでないという条件によって除外されている。簡単にした分数はそこでも何の問題もなく定義されるが、これらは一緒に持ち歩かなければならない。