(4a² − b²)/(b + 2a) を (b − 2a)² で割り、簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   2 乗の差を因数分解し、割る式を分数の形に書く。

   $4a^{2}-b^{2}=(2a-b)(2a+b),\qquad (b-2a)^{2}=\frac{(b-2a)^{2}}{1}$

   なので、式は

   $\frac{(2a-b)(2a+b)}{b+2a}\cdot\frac{1}{(b-2a)^{2}}$

   になる。

2. 2

   和の因数を約分する。 足し算は順序を入れ替えられるので $b+2a=2a+b$ であり、2 つはそのまま約分される：

   $\frac{2a-b}{(b-2a)^{2}}$

3. 3

   2 乗は符号を反転しても変わらないことを使う。 $(b-2a)^{2}=(2a-b)^{2}$ なので、式は

   $\frac{2a-b}{(2a-b)^{2}}$

   となる。この書き換えが要の一手である。符号の食い違いを、ぴったりの約分へ変えてくれる。

4. 4

   (2a − b) の因数を 1 つ約分する。

   $\frac{1}{2a-b}$

   $\boxed{\dfrac{1}{2a-b}}\qquad(2a\neq\pm b)$

5. 5

   テスト値で確かめる。 $a=1$、$b=0$ のとき、もとの式は $\dfrac{4}{2}\div 4=2\div 4=\tfrac12$ で、答えも $\tfrac{1}{2}$ ✓。$a=1$、$b=1$ のとき、もとの式 $=\dfrac{3}{3}\div 1=1$、答え $=\tfrac{1}{1}=1$ ✓。

6. 6

   同値な別の形にも触れておく。 答えは $-\dfrac{1}{b-2a}$ と書いても同じである。2 つは符号をどちらに担わせるかが違うだけなので、どちらでも構わない——ただしマイナスを付けずに $\dfrac{1}{b-2a}$ と書けば誤りである。