9 × (m + n) の 2 乗から (m − n) の 2 乗を引いた式を簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   どちらの項も完全平方であることに気づく。 $9=3^2$ なので

   $9(m+n)^2=\bigl[3(m+n)\bigr]^2=(3m+3n)^2$

   となり、この式は $A=3m+3n$、$B=m-n$ とした $A^2-B^2$ の形である。これに気づけば、2 つの平方を展開してから因数分解し直す手間が省ける。

2. 2

   $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ を使う。

   $(3m+3n-(m-n))\bigl(3m+3n+(m-n)\bigr)=(2m+4n)(4m+2n)$

   1 つ目の括弧では $B$ の符号が両方とも反転する：$3n-(-n)=4n$。

3. 3

   それぞれの括弧から数の因数を外に出す。

   $(2m+4n)(4m+2n)=2(m+2n)\cdot 2(2m+n)=4(m+2n)(2m+n)$

4. 4

   もとの式を展開して突き合わせる。

   $9\left(m^2+2mn+n^2\right)-\left(m^2-2mn+n^2\right)=9m^2+18mn+9n^2-m^2+2mn-n^2$

   これをまとめると $8m^2+20mn+8n^2$ になる。真ん中の項は足し算になる（$18mn+2mn$）。マイナスが $-2mn$ の符号を反転させるからである。

5. 5

   2 つの形が一致することを確かめる。

   $4(m+2n)(2m+n)=4\left(2m^2+5mn+2n^2\right)=8m^2+20mn+8n^2$ ✓

6. 6

   数値で確かめる。 $m=2$、$n=1$ のとき、もとの式は $9(9)-1=80$、展開した式は $32+40+8=80$、因数分解した形は $4(4)(5)=80$ である。3 つとも一致する。