f² − 16g² + 24gh − 9h² を完全に因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   後ろの 3 項に隠れている完全平方式を探す。 それらを取り出して $-1$ をくくり出す：

   $-16g^2+24gh-9h^2=-\left(16g^2-24gh+9h^2\right)$

   括弧の中では $16g^2=(4g)^2$、$9h^2=(3h)^2$ であり、中央の項も $2(4g)(3h)=24gh$ と一致する——つまりこれは完全平方式 $(4g-3h)^2$ である。

2. 2

   式全体を 2 つの平方の差として書き直す。

   $f^2-16g^2+24gh-9h^2=f^2-(4g-3h)^2$

   $2+2$ ではなく $3+1$ に組み分ける理由はまさに、この 3 項が 1 つの平方をなし、$f^2$ がもう 1 つの平方として独立しているからである。

3. 3

   $a=f$、$b=4g-3h$ として $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ を当てはめる。

   $f^2-(4g-3h)^2=\bigl[f-(4g-3h)\bigr]\bigl[f+(4g-3h)\bigr]$

4. 4

   符号に注意して内側の括弧を外す。

   $f-(4g-3h)=f-4g+3h,\qquad f+(4g-3h)=f+4g-3h$

   最初の括弧では内側の 両方 の符号が反転することに注意する。典型的な取りこぼしが $f-4g-3h$ と書いてしまうことである。

5. 5

   展開して戻し、数値でも試す。 $(f-4g+3h)(f+4g-3h)=f^2-(4g-3h)^2=f^2-16g^2+24gh-9h^2$ ✓。$f=5$、$g=1$、$h=1$ では、もとの式は $25-16+24-9=24$、因数分解した形は $(5-4+3)(5+4-3)=4\cdot 6=24$ ✓。どちらの括弧もこれ以上分解できないので、因数分解は完全である。