8(x² − 2y²) − x(7x + y) + xy を簡単にし、結果を因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   1 つ目の積を展開する。

   $8\left(x^2-2y^2\right)=8x^2-16y^2$

2. 2

   先頭のマイナスを付けたまま、2 つ目の積を展開する。

   $-x(7x+y)=-7x^2-xy$

   中の両方の項に $-x$ が掛かる。ここで $-7x^2+xy$ としてしまうのが、よくある符号の誤りである。

3. 3

   すべてを並べて、打ち消し合いがないか探す。

   $8x^2-16y^2-7x^2-xy+xy$

   2 つの $xy$ の項はちょうど符号が逆なので消える。この打ち消し合いこそがこの問題の狙いであり、雑多な項の混じった式が 2 項だけの式に変わる。

4. 4

   生き残った項をまとめる。

   $8x^2-7x^2=x^2\;\Longrightarrow\; x^2-16y^2$

5. 5

   平方の差の形を見抜いて使う。 $16y^2=(4y)^2$ なので

   $x^2-16y^2=x^2-(4y)^2=(x-4y)(x+4y)$

   $x=3$、$y=1$ で確かめると、もとの式は $8(9-2)-3(21+1)+3=56-66+3=-7$、因数分解した形は $(3-4)(3+4)=-7\;\checkmark$ を与える。