E = 4x²y³ + 4x³y² + a²x + a²y + 12x + 12y を因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   単一の共通因数ではなく、繰り返し現れる形を探す。 6 つの項すべてを割り切る因数はないので、使う道具は組分けである。後ろの 4 項がすでに示唆的である。$a^2x+a^2y$ も $12x+12y$ も $x+y$ を含んでいる。

2. 2

   やさしい組から先に因数分解する。

   $a^2x+a^2y=a^2(x+y),\qquad 12x+12y=12(x+y)$

   3 組のうち 2 組が 1 次式 $x+y$ を共有したので、残る 1 組も同じ形にできるはずである。

3. 3

   最初の組を同じ形にもっていく。 先頭の 2 項はどちらも $4x^2y^2$ を含む：

   $4x^2y^3+4x^3y^2=4x^2y^2(y+x)=4x^2y^2(x+y)$

   ここが問題の勝負どころである——$4x^2y^2$ をくくり出すと $y^3$ と $x^3$ からちょうど $y$ と $x$ が残ることに気づけばよい。

4. 4

   共通の 1 次式をまとめる。 3 つの組がすべて $x+y$ をもつので：

   $E=(x+y)\left(4x^2y^2+a^2+12\right)$

5. 5

   数値で確かめ、これで完全であることを確認する。 $x=1$、$y=2$、$a=3$ では、もとの式は $4(1)(8)+4(1)(4)+9+18+12+24=32+16+63=111$、因数分解した形は $3\left(16+9+12\right)=3\cdot 37=111\;\checkmark$ となる。2 つ目の因数は非負の項の和に $12$ を足したものなので決して 0 にならず、実数の範囲でこれ以上因数を生まない。