6x × (x − y) の 2 乗と 3 × (y − x) の 3 乗の和を簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   2 つの括弧の関係を押さえる。 両者は互いに符号を変えたものである：$y-x=-(x-y)$。これが効いてくるのは、べき乗が指数の偶奇によって符号の扱いを変えるからである：

   $(y-x)^2=(x-y)^2\quad\text{しかし}\quad (y-x)^3=-(x-y)^3$

   偶数の指数はマイナスを吸収し、奇数の指数はそれを残す。

2. 2

   すべてを $(x-y)$ で書き直す。 3 乗の関係を代入すると

   $6x(x-y)^2+3(y-x)^3=6x(x-y)^2-3(x-y)^3$

   となる。これで 2 つの項が同じ括弧から作られたことになり、因数分解が可能になる。

3. 3

   共通因数を見つけてくくり出す。 係数 $6$ と $3$ は因数 $3$ を共有し、括弧の低いほうのべきは $(x-y)^2$ なので、最大公約因数は $3(x-y)^2$ である：

   $6x(x-y)^2-3(x-y)^3=3(x-y)^2\bigl[2x-(x-y)\bigr]$

4. 4

   括弧の中に残ったものを整理する。

   $2x-(x-y)=2x-x+y=x+y$

   引き算は内側の符号を両方とも反転させる。ここで $2x-x-y=x-y$ と書くのが典型的な誤りである。

5. 5

   結果を述べて検算する。

   $6x(x-y)^2+3(y-x)^3=3(x-y)^2(x+y)$

   $x=3$、$y=1$ で確かめると、もとの式は $6(3)(2)^2+3(-2)^3=72-24=48$、因数分解した形は $3(2)^2(4)=48$ ✓。