18abc² − 12a²b²c を完全に因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   係数の最大公約数をとる。 $18=2\cdot 3^2$、$12=2^2\cdot 3$ なので、最大公約数は $2\cdot 3=6$ である。$2$ だけ、あるいは $3$ だけをとると残りがまだ因数分解できてしまい、因数分解が完全にならない。

2. 2

   両方の項に現れる文字について、次数の低いほうをとる。 指数を 1 つずつ比べる。$a^1$ と $a^2$ なら $a$、$b^1$ と $b^2$ なら $b$、$c^2$ と $c^1$ なら $c$ である。規則はつねに指数の 最小値 をとることなので、最大公約数の文字部分は $abc$ となる。

3. 3

   最大公約数を組み立てる。

   $\gcd=6abc$

   ここではたまたますべての文字が両方の項に現れるので、除外される文字がない。

4. 4

   各項を $6abc$ で割る。

   $\frac{18abc^2}{6abc}=3c,\qquad \frac{12a^2b^2c}{6abc}=2ab$

   よって括弧の中身は $3c-2ab$ であり、両者の間のもとのマイナス符号はそのまま残る。

5. 5

   因数分解を書き、展開して戻す。

   $18abc^2-12a^2b^2c=6abc(3c-2ab)$

   展開すると $6abc\cdot 3c=18abc^2$、$6abc\cdot 2ab=12a^2b^2c$ ✓。数値でも $a=b=c=2$ のとき、もとの式は $18\cdot 16-12\cdot 32=288-384=-96$、因数分解した形は $6\cdot 8(6-8)=48(-2)=-96$ ✓。括弧の $3c-2ab$ にはもう共通因数がないので、因数分解は完全である。