(x + 1)³ − 2(x + 1)²(x − 1) − (x + 1)(x − 1)² + 2(x + 1)³ を簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   まず繰り返し現れる項をまとめる。 最初の項と最後の項は $(x+1)^3$ についての同類項である：

   $(x+1)^3+2(x+1)^3=3(x+1)^3$

   したがって式は次のようになる。

   $3(x+1)^3-2(x+1)^2(x-1)-(x+1)(x-1)^2$

   展開する前にこれをやっておくと、手間が 3 分の 1 減る。

2. 2

   共通因数 $(x+1)$ をくくり出す。 どの項も少なくとも 1 つはこれを含む：

   $(x+1)\Big[3(x+1)^2-2(x+1)(x-1)-(x-1)^2\Big]$

3. 3

   括弧の中だけを展開する。 $(x+1)^2=x^2+2x+1$、$(x+1)(x-1)=x^2-1$、$(x-1)^2=x^2-2x+1$ を使うと：

   $3\left(x^2+2x+1\right)-2\left(x^2-1\right)-\left(x^2-2x+1\right)=3x^2+6x+3-2x^2+2-x^2+2x-1$

   $x^2$ の項は $3-2-1=0$ になるので、括弧の中は 1 次式にしかならない：

   $8x+4$

4. 4

   掛け戻して因数分解する。

   $(x+1)(8x+4)=8x^2+12x+4=4\left(2x^2+3x+1\right)=4(x+1)(2x+1)$

   3 次の項が消えることこそがこの問題の中身である。3 次の積の和が $2$ 次にまで潰れている。

5. 5

   2 つの値で確かめる。 $x=0$ では、もとの式が $1-2(1)(-1)-1(1)+2=1+2-1+2=4$ となり、$4(1)(1)=4\;\checkmark$。$x=2$ では、もとの式が $27-2(9)(1)-3(1)+54=27-18-3+54=60$ となり、$4(3)(5)=60\;\checkmark$。