0.8x + (1 − x)(0.2) を簡単にせよ。

Step-by-step solution

1. 1

   簡単にする前に構造を見抜く。 これは加重平均である。全体のうち割合 $x$ の部分が率 $0.8$ で、残りの割合 $1-x$ が率 $0.2$ で寄与している。この形の式は混合の問題、確率、平均利率の問題に現れる。それが分かっていれば、簡単にした形が $x$ の 1 次式になるはずだと見当がつく。

2. 2

   0.2 を括弧に分配する。

   $0.2\cdot1=0.2,\qquad 0.2\cdot(-x)=-0.2x$

   なので、式は次のようになる。

   $0.8x+0.2-0.2x$

3. 3

   同類項をまとめる。 $x$ の項 2 つはまとまるが、単独の定数項はまとまらない：

   $(0.8x-0.2x)+0.2$

4. 4

   まとめて結果を述べる。

   $0.8x-0.2x=0.6x\qquad\Longrightarrow\qquad 0.6x+0.2$

   傾き $0.6$ はちょうど 2 つの率の差 $0.8-0.2$ であり、切片 $0.2$ は $x=0$ のときの値である。

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   端点で妥当性を確かめる。 $x=0$ では低いほうの率そのものになるはずで、$0.6(0)+0.2=0.2$ ✓。$x=1$ では高いほうの率そのものになるはずで、$0.6(1)+0.2=0.8$ ✓。どちらの端点も、加重平均という読みが予測する値にぴったり落ちる。

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   乱数で検算する。 $[-5,5]$ から取った $40$ 個の $x$ の乱数値でもとの式と簡単にした式を比べると、どの点でも計算機の精度の範囲で一致する ✓。結果が $[0,1]$ の外でも成り立つことが確かめられる。