不等式 (2x − 1)(x + 1)/(x² + x + 2) ≤ 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   まず分母を調べる。 $x^{2}+x+2$ の判別式は

   $\Delta=1^{2}-4(1)(2)=1-8=-7<0,$

   であり最高次の係数は正なので、放物線は軸を決して横切らない。

   $x^{2}+x+2>0\quad\text{任意の実数 }x.$

   この 1 つの事実がほとんどの仕事をしてくれる。除外すべき点もなく、分母の側から符号が変わることもない。

2. 2

   多項式の不等式に帰着させる。 両辺に真に正の量を掛けても不等式は保たれるので

   $\frac{(2x-1)(x+1)}{x^{2}+x+2}\le0\iff(2x-1)(x+1)\le0.$

   となる。この同値性は分母が符号を変えうるなら成り立たない。手順 1 を先に置かねばならなかったのはまさにそのためである。

3. 3

   臨界点を求める。 各因数を 0 とおくと

   $2x-1=0\Rightarrow x=\tfrac12,\qquad x+1=0\Rightarrow x=-1.$

   どちらも分子を 0 に、分母を 0 でない値にするので、そこでは分数全体が $0$ である。これは $\le0$ を満たすので、両端点とも含まれる。

4. 4

   二次式の符号を読む。 積 $(2x-1)(x+1)$ は下に凸の放物線なので、2 解の間で負、外側で正である。試験点でも確かめられる。$x=-2$ では $(-5)(-1)=5>0$、$x=0$ では $(-1)(1)=-1<0$、$x=1$ では $(1)(2)=2>0$ である。

5. 5

   解集合を述べる。 負になる区間に 2 つの零点を合わせて

   $x\in\left[-1,\ \tfrac12\right].$

   もとの分数で抜き取り検算すると、$x=-2$ では $\tfrac{5}{4}>0$（除かれる）✓、$x=0$ では $-\tfrac12<0$（含まれる）✓、$x=\tfrac12$ では $0$（含まれる）✓、$x=1$ では $\tfrac12>0$（除かれる）✓ である。