3x + y = 1 のとき、y/x + 1/y ≤ m がつねに成り立つような最大の m を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   条件式を使って 1 変数に減らす。 $3x + y = 1$ から $y = 1 - 3x$ が得られるので、式は $x$ だけの関数になる：

   $f(x) = \frac{1-3x}{x} + \frac{1}{1-3x} = \frac{1}{x} - 3 + \frac{1}{1-3x}$

   $\frac{1-3x}{x} = \frac1x - 3$ と書き直したことが、2 つの極を別々に見えるようにしている。

2. 2

   定義域を書き留める。 どちらの分母も 0 であってはならない：

   $x \ne 0 \quad \text{かつ} \quad y = 1 - 3x \ne 0 \ \Longrightarrow \ x \ne \tfrac13$

   したがって定義域は $\mathbb{R} \setminus \left\{0, \tfrac13\right\}$ である。除かれた点 $x = \tfrac13$ こそが、これから問題になる場所である。

3. 3

   極 x = 1/3 の近くでの振る舞いを調べる。 $x \to \tfrac13^-$ のとき $1 - 3x \to 0^+$ なので

   $\frac{1}{1-3x} \to +\infty, \qquad \text{一方} \quad \frac1x - 3 \to 3 - 3 = 0$

   第 1 項が発散し、残りは有界のままなので $f(x) \to +\infty$ となる。

4. 4

   具体的な値で確かめる。 $x$ を下から $\tfrac13$ にどんどん近づけると：

   $x = 0.33 \Rightarrow f = 100.03, \qquad x = 0.333 \Rightarrow f = 1000.003, \qquad x = 0.33333 \Rightarrow f \approx 10^{5}$

   どんな目標の値も超えてしまうので、この式には上界がない。（$x \to 0^-$ でも同じく発散するが、そこでは $\tfrac1x \to +\infty$ とはならず $f \to -\infty$ である。発散する向きが 1 つあれば十分である。）

5. 5

   最大の m は存在しないと結論する。 許されるすべての $x, y$ について $\frac{y}{x} + \frac1y \le m$ が成り立つには $m \ge \sup f = +\infty$ でなければならない。これを満たす実数は存在しないので：

   $\sup_{3x+y=1} \left(\frac{y}{x} + \frac{1}{y}\right) = +\infty, \qquad \text{最大の } m \text{ は存在しない}$

   もし出題の意図に $x > 0,\ y > 0$ のような符号の制限が加わっていたとしても、$x = \tfrac13^-$ の極はその領域の内側に残るので、そこでもこの式は上に有界でなく、結論は変わらない。