x³ + 4x² − 5 を有理数の範囲で、続いて実数の範囲で因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   有理数解を探す。 定数項は $-5$、最高次の係数は $1$ なので候補は $\pm 1,\pm 5$ である。$x=1$ を試すと

   $1+4-5=0$

   となるので $(x-1)$ は因数である。

2. 2

   $(x-1)$ を割り出す。 抜けている 1 次の項を補って $x^3+4x^2+0x-5$ と書いて割ると：

   $x^3+4x^2-5=(x-1)\left(x^2+5x+5\right)$

3. 3

   2 次因数に有理数解があるかを調べる。 その判別式は

   $D=5^2-4(1)(5)=25-20=5$

   である。$5$ は正だが平方数ではないので、$x^2+5x+5$ は 2 つの実数解をもちながら 有理数の範囲では既約 である。ここがちょうど 2 つの答えの境目である。

4. 4

   実数の範囲で因数分解する。 解は $\tfrac{-5\pm\sqrt5}{2}$ なので

   $x^2+5x+5=\left(x+\frac{5+\sqrt5}{2}\right)\left(x+\frac{5-\sqrt5}{2}\right)$

   となる。

5. 5

   どちらの形も検算する。 $(x-1)(x^2+5x+5)$ を展開すると $x^3+5x^2+5x-x^2-5x-5=x^3+4x^2-5$ $\checkmark$。実数の形については、2 つの定数の和が $5$、積が $\tfrac{25-5}{4}=5$ であり、$x^2+5x+5$ の係数と一致する $\checkmark$。