kt + xy > ky + tx が (k − x)(t − y) > 0 と同値であることを示せ。

Step-by-step solution

1. 1

   すべてを一方の辺に移す。 両辺から $ky$ と $tx$ を引いて、0 との比較に直す：

   $kt-tx+xy-ky>0$

2. 2

   共通因数をもつ項どうしを 2 つずつ組にする。 最初の 2 項は $t$ を、最後の 2 項は $y$ を共有する：

   $t(k-x)+y(x-k)>0$

3. 3

   2 つの括弧を同じ形にそろえる。 $x-k=-(k-x)$ なので、2 つ目の括弧は 1 つ目の符号を変えたものである：

   $t(k-x)-y(k-x)>0$

   この符号の入れ替えに気づくことがすべてである。気づかなければ、この組分けは行き止まりに見える。

4. 4

   共通の 2 項式をくくり出す。

   $(k-x)(t-y)>0$

5. 5

   条件を述べ、確かめる。 2 つの実数の積が正になるのは、両方とも正か、両方とも負のとき、そのときに限る：

   $\left(k>x\ \text{かつ}\ t>y\right)\quad\text{または}\quad\left(k<x\ \text{かつ}\ t<y\right)$

   $k=4,t=3,x=1,y=2$（差がどちらも正）で試すと、左辺 $=12+2=14$、右辺 $=8+3=11$ であり $14>11$ $\checkmark$、また $(3)(1)=3>0$ $\checkmark$。$k=1,t=3,x=4,y=2$（符号が混在）で試すと、左辺 $=3+8=11$、右辺 $=2+12=14$ となって不等式は成り立たない $\checkmark$。これは $(-3)(1)=-3<0$ と整合する。