x³ + x² − x − 1 を完全に因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   4 つの項を 2 つずつに組む。 共通因数を持たない 4 項の 3 次式は、組み合わせによる因数分解の典型例である：

   $\left(x^3+x^2\right)+(-x-1)$

2. 2

   共通の 1 次式が現れるように各組を因数分解する。 前の組から $x^2$ を、後ろの組から $-1$ をくくり出す：

   $x^2(x+1)-1(x+1)$

   $+1$ ではなく $-1$ をくくり出すのが決め手である：$-x-1=-1(x+1)$。

3. 3

   共通の 1 次式をくくり出す。

   $x^3+x^2-x-1=(x+1)\left(x^2-1\right)$

4. 4

   ここで止めない——平方の差を分解する。 $x^2-1=(x-1)(x+1)$ なので、重複した因数が現れる：

   $x^3+x^2-x-1=(x+1)(x-1)(x+1)=(x+1)^2(x-1)$

5. 5

   展開と根の両方で検算する。 $(x+1)^2(x-1)=(x^2+2x+1)(x-1)=x^3+x^2-x-1$ $\checkmark$。根は $x=-1$（2 重根）と $x=1$ であり、もとの式に $x=-1$ を代入すると $-1+1+1-1=0$ $\checkmark$。