43681x⁶ − 22932.5x⁵ + 3931.3x⁴ − 221.1x³ + 1.945×10⁻⁷ = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   定数項をただ捨ててはいけない理由に注意する。 定数項がなければ方程式は $x^3(43681x^3-22932.5x^2+3931.3x-221.1)=0$ と因数分解でき、$x=0$ が 3 重解になる。ごく小さい定数 $1.945\times10^{-7}$ は、この 3 重解を原点近くに固まった 3 つの小さい解へと揺らす。つまり小さい $x$ での振る舞いをすべて支配しているので、残さなければならない。

2. 2

   3 次の因子から大きいほうの 3 解を求める。 0 から十分に離れた $x$ では定数項は無視でき、解は次の方程式の解に一致する

   $43681x^3-22932.5x^2+3931.3x-221.1=0$

   符号の変化は $f(0.14)<0$、$f(0.15)>0$、$f(0.16)<0$、$f(0.23)>0$ である。各区間で 6 次式そのものを二分法にかけると

   $x=0.14670508,\qquad x=0.15345189,\qquad x=0.22484227$

   が得られる。最初の 2 つは $0.0067$ しか離れていないので、刻み幅が粗すぎる解法はどちらか一方を取り逃がす。

3. 3

   原点近くの 3 つの小さい解を分離する。 $|x|\ll 1$ では 6 次式は $-221.1x^3+1.945\times10^{-7}$ が支配的であり、見積もりとして $x^3\approx 8.797\times10^{-10}$、すなわち $|x|\approx 9.6\times10^{-4}$ が得られる。もとの多項式でニュートン法により精度を上げると、実数値

   $x=0.000963677$

   が得られる。残る 2 つは 3 乗根の相棒にあたる複素数 $x\approx-0.00048175\pm0.00082509\,i$ である。

4. 4

   個数を確かめる。 6 次の多項式は重複を込めてちょうど 6 個の解をもつ。ここでは実数解が 4 個（$0.000963677$、$0.14670508$、$0.15345189$、$0.22484227$）と共役な複素数の組が 1 組で、合計 6 個である。取りこぼしはない。

5. 5

   各実数解を残差で検算する。 代入し直すと残差は $2.6\times10^{-23}$、$1.2\times10^{-16}$、$5.2\times10^{-18}$、$3.4\times10^{-16}$ となり、いずれも計算機の精度の範囲で 0 である ✓。これに対し、よく引用される $0.0887304343$ と $0.2575361876$ を含む組は残差が $-0.0156$ と $+0.2814$ になるので、これらはこの方程式の解ではない。