3 次方程式 1.5708x³ − 0.01446x² + 1.35803×10⁻⁵x + 1.0159097×10⁻¹² = 0 を解け。

Step-by-step solution

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   ソルバーに手を出す前に、係数からスケールを読み取る。 係数は次数が 1 つ下がるごとにおよそ 2 桁ずつ落ちており（$1.57$、$1.4\times10^{-2}$、$1.4\times10^{-5}$）、これは $10^{-2}$ から $10^{-3}$ あたりに解があることの指紋である。定数項はそこからさらに 7 桁小さいので、1 つの解だけが他の 2 つよりはるかに小さいはずである。

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   条件のよい 3 次式にスケールし直す。 $x=t/1000$ と置くと、$t^k$ の係数は $1000^{3-k}$ 倍される：

   $1.5708t^3-14.46t^2+13.5803t+1.0159097\times10^{-3}=0$

   これで係数はどれも数桁の幅に収まり、求解のときに桁落ちで失う精度がはるかに小さくなる。

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   符号の変化から大きい方の 2 解を挟み込む。 $g(t)=1.5708t^3-14.46t^2+13.5803t+0.0010159097$ とおくと、$g(1)=0.6921>0$、$g(1.5)=-6.8621<0$、$g(8)=-12.5470<0$、$g(9)=96.0769>0$。よって解は $(1,1.5)$ と $(8,9)$ にある。計算機の精度まで二分すると $t=1.06167$ と $t=8.14390$ を得る。

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   小さい解は定数項から取り出す。 $t=0$ の近くでは 3 次と 2 次の項が無視できるので、$13.5803t+0.0010159097\approx0$ から $t\approx-7.4808\times10^{-5}$ が得られ、ニュートン法で $t=-7.480165\times10^{-5}$ まで詰められる。3 つとも $1000$ で割り戻すと：

   $x=-7.480165\times10^{-8},\quad 0.00106167,\quad 0.00814390$

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   解と係数の関係で、仮定ではなく実際に計算して確かめる。 解の和は $0.01446/1.5708=0.0092055004$ のはずで、3 解を足すと $0.0092055004$ ✓。解の積は $-1.0159097\times10^{-12}/1.5708=-6.467467\times10^{-13}$ のはずで、3 解を掛けると $-6.467467\times10^{-13}$ ✓。広く出回っている $0.00100455$ と $0.00820134$ という答えはこの検査を通らない——それらの値では残差が $10^{-13}$ ではなく $10^{-8}$ 程度になってしまう。