4 次方程式 0.0395m⁴ − 1.0636m³ + 8.1435m² − 11.8308m − 17.026 = 0 を解け。

Step-by-step solution

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   探し始める前に、解がどのあたりにありうるかを見積もる。 コーシーの評価によれば、どの解も $|m|\le 1+\max|a_k|/|a_4|=1+17.026/0.0395\approx 432$ を満たす。これはかなり緩い評価だが、最高次の係数が小さいことが警告の合図である。$0.0395$ で全体を割ると $m^4-26.927m^3+206.16m^2-299.51m-431.04$ となるので、解の和はおよそ $26.9$ で、広い範囲に散らばっていることが分かる。

2. 2

   格子の上で符号の変化を走査する。 $-3$ から $60$ まで $0.1$ 刻みで $f(m)$ を計算すると、$(-0.9,-0.8)$、$(3.3,3.4)$、$(11.1,11.2)$、$(13.3,13.4)$ で符号が入れ替わる。4 次方程式で符号の変化が 4 回あるということは実数解が 4 個あるということである。複素数解は必ず対で現れ、解は全部で 4 個しかないので、複素数の対が入る余地は残っていない。

3. 3

   各区間を二分法で十分な精度まで詰める。

   $m_1=-0.86460205,\quad m_2=3.37179569,\quad m_3=11.10472698,\quad m_4=13.31466166$

   いずれも残差 $|f(m)|$ が $10^{-12}$ を下回るまで精密化した。

4. 4

   解と係数の関係で突き合わせる。 $a_4m^4+\cdots+a_0$ について、解の和は $-a_3/a_4=1.0636/0.0395=26.92658228$、積は $a_0/a_4=-17.026/0.0395=-431.03797468$ である。計算した 4 つの解の和は $26.92658228$ ✓、積は $-431.03797468$ ✓ となり、どちらも有効数字 10 桁で合う。つまり偽の解も見落とした解もない。

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   代入して合わない値は退ける。 よく出回っている答えは $m\approx-0.9365$ と $m\approx3.3065$ に複素数の対 $12.2798\pm19.2988i$ を添えるというものである。代入すると $f(-0.9365)=+2.0996$、$f(3.3065)=-0.8396$ でどちらも 0 ではなく、主張された複素数の対が解の和を $26.93$ に押し上げるのは偶然にすぎない。正しい答えは実数解 4 個である。