4.08x² − 652.8x + 10236 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   係数を特定し、方法を選ぶ。 ここでは $a=4.08$、$b=-652.8$、$c=10236$ である。小数のせいで見た目からの因数分解はできないので、

   $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

   を使う。

2. 2

   判別式を積ごとに 1 つずつ計算する。 どの部分もちょうど割り切れる小数なので、この段階ではまだ丸めは不要である：

   $b^{2}=652.8^{2}=426147.84,\qquad 4ac=4(4.08)(10236)=16.32\times 10236=167051.52$

   $b^{2}-4ac=426147.84-167051.52=259096.32$

   これは正なので、異なる 2 つの実数解がある。

3. 3

   平方根をとる。

   $\sqrt{259096.32}=509.0150489\ldots$

   $509$ に近いが等しくはない。ここできっかり $509$ に丸めると 2 つの解が小数第 3 位で動いてしまうので、余分な桁を残しておくこと。

4. 4

   公式に代入する。 $2a=8.16$、$-b=652.8$ として：

   $x=\frac{652.8\pm 509.0150489}{8.16}$

   $x_{1}=\frac{1161.8150489}{8.16}\approx 142.37930,\qquad x_{2}=\frac{143.7849511}{8.16}\approx 17.62070$

5. 5

   小数を払って厳密な形を復元する。 もとの方程式を $25$ 倍して $6$ で割ると整数係数の方程式 $17x^{2}-2720x+42650=0$ が得られる。その判別式は $4498200=2^{3}3^{3}5^{2}7^{2}\cdot 17$ なので $\sqrt{4498200}=210\sqrt{102}$ であり、

   $x=\frac{1360\pm 105\sqrt{102}}{17}$

   となる。

6. 6

   解と係数の関係で確かめる。 解の和は $-\dfrac{b}{a}=\dfrac{652.8}{4.08}=160$ でなければならず、実際 $142.37930+17.62070=160.00000$ である。積は $\dfrac{c}{a}=\dfrac{10236}{4.08}=\dfrac{42650}{17}=2508.8235$ でなければならず、$142.37930\times 17.62070=2508.8235\ \checkmark$ である。