関数 f(x) = |x + 2| − 3 を x 軸に関して対称移動し、さらに 2 だけ下に平行移動する。得られる関数の式を書け。

Step-by-step solution

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   出発点の頂点を読む。 $f(x)=|x+2|-3$ は上に開き、頂点は $(-2,-3)$ である。$x$ 軸とは 2 回交わり、それは $|x+2|=3$ となるところ、すなわち $x=-5$ と $x=1$ である。

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   $x$ 軸に関して対称移動する：全体の符号を変える。 すべての出力の符号が変わるので、右辺全体の前にマイナス符号が付く。

   $-f(x)=-\left(|x+2|-3\right)=-|x+2|+3$

   定数は $-3$ から $+3$ へ裏返る。そのマイナスを両方の項に配ること、それがこの問題の難しさのすべてである。

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   2 だけ下に平行移動する。 対称移動した関数から $2$ を引く。

   $-|x+2|+3-2=-|x+2|+1$

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   最終的な式とその形。

   $f(x)=-|x+2|+1,\qquad \text{頂点 }(-2,1),\ \text{上に凸}$

   頂点は対称移動で $(-2,-3)$ から $(-2,3)$ へ移り、そこから $2$ 下がって $(-2,1)$ になった。

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   点と切片で検算する。 もとの $(0,-1)$ は対称移動で $(0,1)$ になり、平行移動で $(0,-1)$ になる。式からは $-|0+2|+1=-2+1=-1\;\checkmark$ となる。新しい $x$ 切片は $|x+2|=1$ を満たすので $x=-3$ と $x=-1$ である。2 つの解は $\{-5,1\}$ から内側へ寄っており、頂点が軸のわずか $1$ 上にしかない逆さまの V 字と整合している。