x³ − 5x² − 7x + 41 を因数分解せよ、あるいはその解を求めよ。

Step-by-step solution

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   有理数の解を調べる。 有理根定理により、最高次の係数が $1$ なので有理数の解は定数項 $41$ を割り切らねばならない。$41$ は素数なので候補は $\pm1$ と $\pm41$ だけである。

   $f(1)=1-5-7+41=30,\qquad f(-1)=-1-5+7+41=42$

   であり、$f(\pm 41)$ は $41^3$ に支配されて 0 からはほど遠い。よって有理数の解はなく、この 3 次式は $\mathbb{Q}$ 上で因数分解できない。

2. 2

   そこで止めず、符号の変化を数える。 無理数の解は依然として存在しうるし、3 次式には少なくとも 1 つは必ずある。$f$ を表にすると

   $f(-3)=-10,\quad f(0)=41,\quad f(3)=2,\quad f(4)=-3,\quad f(5)=6$

   となり、符号の変化は $(-3,0)$、$(3,4)$、$(4,5)$ の3 回である。つまりこの 3 次式は実数解を 1 つではなく 3 つもつ。$-2.721$ の近くに実数解が 1 つだけあるという、よくある主張は二重に誤りである。$f(-2.721)=2.88$ でもあるからである。

3. 3

   導関数を使って 3 つであることを確かめる。 $f'(x)=3x^2-10x-7$ の解は $x=\frac{10\pm\sqrt{184}}{6}$ であり、$x=-0.60$ のあたりで極大、$x=3.93$ のあたりで極小になる。$f(-0.60)\approx 43.2>0$ かつ $f(3.93)\approx -3.0<0$ なので、曲線は軸より上に上がり、下に沈み、また上がる。まさに実数の交点が 3 つになる形である。

4. 4

   各解を二分法で突き止める。 各区間を計算機の精度まで狭めると

   $x_1=-2.7875545,\qquad x_2=3.2205249,\qquad x_3=4.5670296$

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   解と係数の関係で検算する。 $x^3-5x^2-7x+41$ については、3 つの解は $\sum x_i=5$、$\sum_{i<j}x_ix_j=-7$、$x_1x_2x_3=-41$ を満たさねばならない。数値からはそれぞれ $5.000$、$-7.000$、$-41.000$ が得られる ✓。よって 3 つの解はすべて正しく、見落としもない。

6. 6

   結論を述べる。 この多項式は有理数の範囲では既約だが、実数の範囲では次のように因数分解できる。

   $f(x)\approx (x+2.7875545)(x-3.2205249)(x-4.5670296)$