x³ − 245.711x² + 2.764156x + 0.057072 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   計算に入る前に解の大きさを予想する。 $x^{2}$ の係数が他と比べて桁違いに大きいので、解の 1 つは $245.711$ に近いはずである（それだけで三次の項をほぼ釣り合わせる）。残りの 2 つはごく小さく、二次式に近い $-245.711x^{2}+2.764156x+0.057072\approx 0$ の解にほぼ一致する。大きさに $10^{4}$ の開きがあると分かっていれば、どの検算が効いてどの検算が効かないかも見当がつく。

2. 2

   大きい解を求める。 $x$ が $245.711$ の近くでは、三次式は $x^{2}(x-245.711)$ に支配される。$x_{0}=245.7$ からのニュートン反復はただちに収束して

   $x_{3}=245.6997489169$

3. 3

   符号の変化から小さい 2 解を挟み込む。 0 の近くで $f$ を計算すると $f(-0.011)<0$、$f(0)=0.057072>0$、$f(0.022)<0$ なので、$(-0.011,0)$ に 1 つ、$(0,0.022)$ にもう 1 つ解がある。50 桁の演算でニュートン反復を行うと

   $x_{1}=-0.0106203880,\qquad x_{2}=0.0218714711$

4. 4

   解と係数の関係だけでなく、代入で検証する。 ここが決定的な備えである。解の和は $245.711$、積は $-0.057072$ でなければならないが、和は大きい解に支配されきっているため、誤った小解でも通ってしまう。実際、誤った組 $-0.0150152414,\ 0.0262657963$ は和の検算を小数第 4 位まで満たす（積のほうは $-0.09690$ となって大きく外れる）。それでもどちらかを $f$ に代入すれば $-0.0398$ となり、$0$ にはならない。

5. 5

   各解を直接確かめる。 正しい値を代入すると、50 桁の演算で $f(x_{1})$、$f(x_{2})$、$f(x_{3})$ はいずれも $10^{-40}$ を下回る ✓。本物の解と、それらしく見えるだけの近い値とを区別できるのは、もとの多項式への代入だけである。

6. 6

   3 つの解を述べる。

   $x\approx-0.0106203880,\qquad x\approx 0.0218714711,\qquad x\approx 245.6997489169$

   3 つとも実数であり、判別式が正であることと合致する。この三次曲線は軸を 3 回横切り、そのうち 2 回は原点から 100 分の 1 ほどの範囲で起きている。