3.68x³ + 92.3x² − 500 = 0 を解け。3 つの実数解を小数第 4 位まで求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   1 次の項が欠けていること、有理根がないことに注意する。 多項式 $f(x)=3.68x^{3}+92.3x^{2}-500$ には $x$ の項がなく、小数の係数からきれいな有理根も望めない。よって解は数値的に求めるしかない——ただし何個あるかは先に決着をつけられる。

2. 2

   広い区間で符号変化を走査する。 $f$ を $-40$ から $20$ まで細かく刻んで評価すると符号変化が3 か所現れ、$x=-24.86$、$x=-2.45$、$x=2.23$ の近くである。3 次式の実数解は多くても 3 個なので、3 個とも実数で複素数解はない。$[0,3]$ だけを調べていたら——そこでは $f(2)=-101.36$、$f(2.5)=+134.375$ ——3 つのうち 1 つしか見つからなかったはずである。

3. 3

   それぞれの区間を二分する。 $|f|<10^{-9}$ になるまで各区間を半分にしていくと：

   $x_{1}\approx-24.861705,\qquad x_{2}\approx-2.450227,\qquad x_{3}\approx 2.230411.$

   大きな負の解が存在するのは、$x\approx-25$ あたりまで $92.3x^{2}$ の項が支配し、そこでようやく 3 次の項が追い抜くからである——広く走査しないと見落としやすい解である。

4. 4

   解と係数の関係と照合する。 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ の解は $\sum x_{i}=-\tfrac{b}{a}$ と $\prod x_{i}=-\tfrac{d}{a}$ を満たす：

   $-24.861705-2.450227+2.230411=-25.081522=-\frac{92.3}{3.68} ✓,$

   $(-24.861705)(-2.450227)(2.230411)=135.8695\approx\frac{500}{3.68} ✓.$

   これが決め手の検査である。和が $-25.0815$ にならない 3 つ組は、個々の値がどう見えようと誤りである。

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   代入して検証する。 $f(-24.861705)=4.5\times10^{-4}$、$f(-2.450227)=-1.6\times10^{-4}$、$f(2.230411)=5.2\times10^{-5}$ ✓。小数第 4 位に丸めると解は $-24.8617$、$-2.4502$、$2.2304$ である。正の解は $2.2307$ ではなく $2.2304$ であることに注意——粗い二分法の結果から余分な桁を書き写すのは危険である。