不等式 (2x − 1)/3 − 4/(x + 2) > (x − 3)/6 + 1 を解け。

Step-by-step solution

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   定義域と方針を押さえる。 $x+2 \neq 0$ なので $x \neq -2$ である。変数が分母に入っているので、安全な方法はすべてを片側に移して 1 つの商の符号表を作ることだけであり、両辺に掛けて払ってはいけない。

2. 2

   多項式の 3 つの部分を分母 6 でまとめる。 いったん $\tfrac{4}{x+2}$ の項を脇に置くと $\frac{2x-1}{3}-\frac{x-3}{6}-1 = \frac{2(2x-1)-(x-3)-6}{6} = \frac{4x-2-x+3-6}{6} = \frac{3x-5}{6}.$

3. 3

   不等式を 1 つの分数に帰着させる。 いまや $\dfrac{3x-5}{6}-\dfrac{4}{x+2}>0$ である。共通分母 $6(x+2)$ を使うと $\frac{(3x-5)(x+2)-24}{6(x+2)} > 0.$ となる。分子を展開すると $3x^2+6x-5x-10-24 = 3x^2+x-34$ であり、$6>0$ なので落としてよい。 $\frac{3x^2+x-34}{x+2} > 0.$

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   分子の解を求める。 $3x^2+x-34$ は整数の範囲では因数分解できない（積が $-102$、和が $1$ になる組が必要だが、そんな組はない）ので、解の公式を使う。 $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1+408}}{6} = \frac{-1\pm\sqrt{409}}{6} \approx -3.5373 \ \text{と}\ 3.2040.$

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   3 つの臨界値をまたいで符号表を作る。 小さい順に $\tfrac{-1-\sqrt{409}}{6} \approx -3.5373$、次に $-2$、そして $\tfrac{-1+\sqrt{409}}{6} \approx 3.2040$ である。下に凸の放物線は 2 解の外側で正、間で負であり、$x+2$ は $-2$ で符号が入れ替わる。よって 4 つの区間にわたる符号は $-,\,+,\,-,\,+$ となる。

6. 6

   正になる 2 つの区間を読み取り、検算する。 $x \in \left(\frac{-1-\sqrt{409}}{6},\ -2\right) \cup \left(\frac{-1+\sqrt{409}}{6},\ \infty\right).$ もとの不等式に代入すると、$x=-3$ では左辺引く右辺が $=+1.667>0$（内側）、$x=-1$ では $-5.333$（外側）、$x=3$ では $-0.133$（外側。境界の $3.2040$ をわずかに下回る）、$x=3.5$ では $+0.189$（内側）となる。不等号が等号を含まず、$x=-2$ は定義域の外なので、端点はすべて除かれる。