連立不等式 1/6 < (2x − 13)/12 ≤ 2/3 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   腰でつながった 2 つの不等式として扱う。 未知数は真ん中にしか現れないので、どの操作も 3 つの部分すべてに同時に施さなければならない。そうすれば、分割しなくても連鎖は同値なまま保たれる。

2. 2

   全体に 12 を掛けて分母をすべて払う。 $12$ は $6$、$12$、$3$ の最小公倍数であり、しかも正なので不等号の向きは変わらない： $12\cdot\frac16 < 12\cdot\frac{2x-13}{12} \le 12\cdot\frac23 \Longrightarrow 2 < 2x-13 \le 8.$

3. 3

   すべての部分に 13 を足す。 $2+13 < 2x \le 8+13 \Longrightarrow 15 < 2x \le 21.$ 定数を足しても不等号の向きには決して影響しない。

4. 4

   すべての部分を 2 で割る。 $2>0$ なので不等号はそのままである： $\frac{15}{2} < x \le \frac{21}{2}, \qquad\text{すなわち}\qquad 7.5 < x \le 10.5.$

5. 5

   端点の種類を取り違えない。 左端は狭義の $<$ から来ているので $7.5$ は除かれ、右端は $\le$ から来ているので $10.5$ は含まれる。区間表記では $\left(\tfrac{15}{2},\tfrac{21}{2}\right]$ である。

6. 6

   境界を数値で確かめる。 $x=7.5$ のとき：$\tfrac{2(7.5)-13}{12} = \tfrac{2}{12} = \tfrac16$ ——等しいので、除かれるのが正しい。$x=10.5$ のとき：$\tfrac{2(10.5)-13}{12} = \tfrac{8}{12} = \tfrac23$ ——等しいので、含まれるのが正しい。$x=7.4$ では中央の値は $0.15 < \tfrac16$ で外側、$x=10.6$ では $0.6833 > \tfrac23$ でやはり外側である。