不等式 3/(x − 1) − 1 ≥ 2 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   まず定義域の制限を記録する。 分母の $x-1$ は 0 になれないので $x \neq 1$ である。式変形が何を出そうと、この値が答えに入ることは決してない。

2. 2

   たすきに掛けたくなるのを抑える。 両辺に $x-1$ を掛けるにはその符号を知る必要があるが、$x-1$ は $x<1$ で負、$x>1$ で正である。安全な道は、すべてを片側に集めて 1 つの商を調べることである。

3. 3

   全部の項を左辺に移してまとめる。 両辺に $1$ を足すと $\dfrac{3}{x-1} \ge 3$ となるので $\frac{3}{x-1}-3 \ge 0 \Longrightarrow \frac{3-3(x-1)}{x-1} \ge 0 \Longrightarrow \frac{6-3x}{x-1} \ge 0.$

4. 4

   負の数をくくり出し、不等号を意図的に 1 回だけ裏返す。 $6-3x = -3(x-2)$ であり、両辺を定数 $-3$ で割ると不等号の向きが逆になる。$\frac{x-2}{x-1} \le 0.$ これで一次式どうしのきれいな商になった。

5. 5

   臨界値 1 と 2 の上に符号表を作る。 $x=0$ では $\tfrac{-2}{-1}=2>0$ なので外れる。$x=1.5$ では $\tfrac{-0.5}{0.5}=-1<0$ なので入る。$x=3$ では $\tfrac{1}{2}>0$ なので外れる。よって効くのは真ん中の区間だけである。

6. 6

   端点を決める。 $x=2$ は分子を 0 にし、$\le 0$ は 0 を許すので $x=2$ は含まれる。$x=1$ は分母を 0 にするので定義域から除かれる。したがって $1 < x \le 2, \qquad x \in (1,2].$ 検算：$x=2$ では $\tfrac{3}{1}-1=2$ となり、$\ge 2$ を等号つきで満たす。