1/(s + 2) + 1/(s + 4) + 1/(s + 9) - 1/(s + 6) = 0 を s について解け。

Step-by-step solution

1. 1

   まず除外すべき値を書き留める。 4 つの分母が 0 になるのは

   $s=-2,\ -4,\ -6,\ -9$

   のときである。式変形の結果がどうであれ、これらは解になりえない。先に押さえておけば、あとで現れる偽の解をただちに捕まえられる。

2. 2

   両辺に掛けて分母を払う。 すべての項に $(s+2)(s+4)(s+6)(s+9)$ を掛けると多項式の方程式になる。出てくる 4 つの 3 次式をまとめると

   $2s^{3}+33s^{2}+180s+300=0$

   となる。分数が 3 つ足され 1 つ引かれているので 4 次の項が打ち消し合い、次数が 4 から 3 に落ちる。

3. 3

   有理根を試す——それらしい候補も退ける。 有理根定理により候補は $p\mid 300$、$q\mid 2$ として $\pm\frac{p}{q}$ である。もっともらしいものを調べると、$s=-5$ では $2(-125)+33(25)-900+300=-25\neq 0$、$s=-4$ では $-128+528-720+300=-20\neq 0$、$s=-\tfrac{15}{2}$ では $-\tfrac{3375}{4}+\tfrac{7425}{4}-1350+300\neq 0$ となる。有理根は存在しない ので、この 3 次式は有理数の範囲では因数分解できない。

4. 4

   因数分解の当てずっぽうは必ず展開して確かめる。 たとえば $(s+5)(2s+15)(s+4)$ を展開すると $2s^{3}+33s^{2}+175s+300$ になる——最高次、2 次、定数項は一致するが、1 次の係数が $180$ ではなく $175$ である。この 1 つの係数を確認することが誤りを暴く。

5. 5

   実数解を数値的に求める。 $f(-3)=3>0$、$f(-3.1)=-0.452<0$ なので解はその間にある。ニュートン法で反復すると

   $s\approx-3.0864085$

   に収束する。これは除外値のどれでもないので、正真正銘の解である。

6. 6

   残り 2 つの解を確認し、検証する。 残りの解は共役な複素数の組 $s\approx-6.7068\pm 1.9024i$ なので、実数解はちょうど 1 つである。$s=-3.0864085$ を代入し直すと $\tfrac{1}{-1.0864}+\tfrac{1}{0.9136}+\tfrac{1}{5.9136}-\tfrac{1}{2.9136}=-0.9205+1.0946+0.1691-0.3432=0.0000$ ✓。