不等式 |x − 1| / (x² − 4) ≥ 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   定義域から始める。 分母は 0 であってはならない：

   $x^2-4=(x-2)(x+2)\neq 0\ \Longrightarrow\ x\neq 2,\ x\neq -2$

   この 2 点は、以降の分析が何を言おうと答えに現れることはない。

2. 2

   分子の符号が一定であることを使う。 任意の実数 $x$ について $|x-1|\ge 0$ であり、それが $0$ になるのは $x=1$ のときだけである。したがって分子がこの分数を負にすることはない。商の符号は完全に分母が決めており、例外は分子が 0 になるただ 1 点だけである。

3. 3

   場合 A：分数が狭義に正になる。 これには $|x-1|>0$（つまり $x\neq 1$）と $x^2-4>0$ が同時に必要である。因数分解すると、$(x-2)(x+2)>0$ が成り立つのは 2 つの因子がともに負か、ともに正のときである：

   $x<-2\quad\text{または}\quad x>2$

   $x=1$ はどちらの領域にも属さないので、$(-\infty,-2)\cup(2,\infty)$ 全体が条件を満たす。

4. 4

   場合 B：分数がちょうど 0 になる。 商が 0 になるのは、分子が 0 で分母が 0 でないときである：

   $|x-1|=0\Rightarrow x=1,\qquad 1^2-4=-3\neq 0\ \checkmark$

   不等号が $>0$ ではなく $\ge 0$ なので、この 1 点は解に 含まれる。分数がそれ以外では負になる区間 $(-2,2)$ の内部にあってもである。

5. 5

   $(-2,2)$ の残りを除外する。 そこでは $x^2-4<0$ である一方 $|x-1|>0$ なので、分数は狭義に負になる。たとえば $x=0$ では $\tfrac{1}{-4}=-0.25$ である。$(-2,2)$ の点は $x=1$ を除いてすべて条件を満たさない。

6. 6

   場合をまとめる。

   $(-\infty,-2)\cup\{1\}\cup(2,\infty)$

   $1$ を囲む波括弧は誤記ではない。負の領域の内部に非負の分子の零点があるとき、「$\ge$」はまさにこのような孤立点を解集合に生む。