不等式 3/(x − 1) > x + 4 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   両辺に $x-1$ を掛けてはいけない。 その符号は分からない（$x>1$ なら正、$x<1$ なら負）ので、掛けると数直線の片側だけで不等号が裏返ってしまう。安全な道は、すべてを片側に移して 1 つの分数を 0 と比べることである。

   $\frac{3}{x-1}-(x+4)>0$

2. 2

   共通分母でまとめる。 $(x+4)(x-1)=x^{2}+3x-4$ を展開すると

   $\frac{3-(x^{2}+3x-4)}{x-1}=\frac{-x^{2}-3x+7}{x-1}>0$

   となる。両辺に $-1$ を掛けると分子の最高次の係数が正になり、不等号の向きが逆になる。

   $\frac{x^{2}+3x-7}{x-1}<0$

3. 3

   臨界点をすべて突き止める。分子の零点も分母の零点も要る。 分子については解の公式から

   $x=\frac{-3\pm\sqrt{9+28}}{2}=\frac{-3\pm\sqrt{37}}{2}\approx-4.5414,\;1.5414$

   であり、分母は $x=1$ で 0 になる。3 つの点 $\frac{-3-\sqrt{37}}{2}$、$1$、$\frac{-3+\sqrt{37}}{2}$ が数直線を 4 つの区間に分ける。$1$ が 2 つの解の間にあり、本当に交互に並んでいることに注意したい。

4. 4

   符号表を作る。 分子（下に凸の放物線）は 2 解の間で真に負であり、分母は $x<1$ で負である。商が負になるのは、ちょうど一方だけが負のときである。

   $\begin{array}{c|c|c|c}\text{区間}&\text{分子}&\text{分母}&\text{商}\\\hline x<-4.5414&+&-&-\;\checkmark\\ -4.5414<x<1&-&-&+\\ 1<x<1.5414&-&+&-\;\checkmark\\ x>1.5414&+&+&+\end{array}$

5. 5

   解を読み取り、除外点を確かめる。

   $\left(-\infty,\tfrac{-3-\sqrt{37}}{2}\right)\cup\left(1,\tfrac{-3+\sqrt{37}}{2}\right)$

   端点はすべて開いている。2 つの解では等号になるが不等号は等号を含まず、$x=1$ ではもとの分数が定義されないのでまるごと除かれる。$[-10,6]$ 全体の $8000$ 点でもとの不等式を標本抽出すると、どこでもこの集合と一致する ✓。$x=2$ で抜き取ると $\frac{3}{1}=3$ に対して $6$ であり、$3>6$ は偽 ✗ なので、正しく外側である。