4 次方程式 x⁴ − 16x³ + 66x² − 16x − 35 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   繰り返し現れる二次式の塊を探す。 $-16$ の半分は $-8$ であり、$(x^2-8x)^2 = x^4 - 16x^3 + 64x^2$ の時点で上位 3 項がわずかな余りを除いて再現されている。そこで次の置き換えが示唆される。

   $t = x^2 - 8x$

2. 2

   4 次式を t で書き直す。 上の展開を引くと

   $x^4 - 16x^3 + 66x^2 - 16x - 35 = \left(x^2-8x\right)^2 + 2x^2 - 16x - 35 = t^2 + 2t - 35$

   となる。決定的な偶然は、余った $2x^2 - 16x$ がちょうど $2t$ になっていることで、そのおかげで $x$ が 1 つも残らない。$x$ についての 4 次式が、$t$ についての二次式に変わった。

3. 3

   t についての二次方程式を解く。 積が $-35$、和が $+2$ になる 2 数は $+7$ と $-5$ である。

   $t^2 + 2t - 35 = (t+7)(t-5) = 0 \quad \Longrightarrow \quad t = -7 \ \text{または} \ t = 5$

4. 4

   x についての 2 つの二次方程式に戻す。

   $x^2 - 8x = -7 \ \Longrightarrow \ x^2 - 8x + 7 = 0$

   $x^2 - 8x = 5 \ \Longrightarrow \ x^2 - 8x - 5 = 0$

   言い換えれば $x^4-16x^3+66x^2-16x-35 = \left(x^2-8x+7\right)\left(x^2-8x-5\right)$ であり、展開し直すともとの式にぴったり戻る。

5. 5

   それぞれの二次方程式を解く。 1 つ目は整数の範囲で因数分解できる。

   $x^2 - 8x + 7 = (x-1)(x-7) = 0 \quad \Longrightarrow \quad x = 1 \ \text{または} \ x = 7$

   2 つ目は $\Delta = 64 + 20 = 84$ が平方数ではないので平方完成が必要である。

   $(x-4)^2 = 21 \quad \Longrightarrow \quad x = 4 \pm \sqrt{21}$

6. 6

   4 つの実数解をまとめて検算する。

   $x = 1,\quad x = 7,\quad x = 4 + \sqrt{21} \approx 8.5826,\quad x = 4 - \sqrt{21} \approx -0.5826$

   4 つとも実数である。解と係数の関係で確かめると、解の和は $1 + 7 + 8 = 16 = -(-16)/1$、積は $7 \cdot (16-21) = -35$ で定数項と一致する。$x = 4+\sqrt{21}$ を数値で代入すると小数第 12 位まで $0$ になる。