4 次方程式 u⁴ − 6u³ + 8u² + 6u − 9 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   2 つの二次式への分解を未知数のまま置く。 解を 1 つずつ探しにいくのではなく、この 4 次式が整数係数の 2 つのモニックな二次式に分かれると仮定する。

   $u^4 - 6u^3 + 8u^2 + 6u - 9 = \left(u^2 + au + b\right)\left(u^2 + cu + d\right)$

   これを最初に試す価値があるのは、分解に成功すれば 4 つの解が一度に手に入るからである。

2. 2

   展開して係数を比較する。 右辺を掛け合わせると

   $u^4 + (a+c)u^3 + (ac+b+d)u^2 + (ad+bc)u + bd$

   となるので、4 つの未知数は次を満たす。

   $a + c = -6, \quad ac + b + d = 8, \quad ad + bc = 6, \quad bd = -9$

3. 3

   b と d の小さな整数の可能性を調べる。 $bd = -9$ なので候補の組は $(\pm1, \mp9)$、$(\pm3, \mp3)$、$(\pm9, \mp1)$ である。$b = -1$、$d = 9$ を試すと 2 番目の式がつぶれる。

   $ac - 1 + 9 = 8 \quad \Longrightarrow \quad ac = 0$

   つまり $a, c$ の一方が 0 になる。大幅な簡単化であり、この組を最初に試すべき理由でもある。

4. 4

   係数の決定を仕上げ、4 つの式すべてを確かめる。 $ac = 0$ から $a = 0$ をとると $c = -6$ である。すると

   $ad + bc = 0 \cdot 9 + (-1)(-6) = 6 \ \checkmark$

   となり、4 つの条件がすべて成り立つので

   $u^4 - 6u^3 + 8u^2 + 6u - 9 = \left(u^2 - 1\right)\left(u^2 - 6u + 9\right)$

   である。展開して戻すと $u^4 - 6u^3 + 9u^2 - u^2 + 6u - 9$ となり、もとの多項式に一致する。

5. 5

   それぞれの二次式を最後まで因数分解する。 一方は 2 乗の差、もう一方は完全平方である。

   $u^2 - 1 = (u-1)(u+1), \qquad u^2 - 6u + 9 = (u-3)^2$

   $\Longrightarrow \quad (u-1)(u+1)(u-3)^2 = 0$

6. 6

   解とその重複度を読み取る。

   $u = 1, \qquad u = -1, \qquad u = 3 \ \text{（重解）}$

   代入すればどれも確かめられる。$u=1$ では $1-6+8+6-9=0$、$u=-1$ では $1+6+8-6-9=0$、$u=3$ では $81-162+72+18-9=0$ である。$u = 3$ の重複度が 2 なので、グラフはそこで $u$ 軸を横切らずに接する。また重複度を込めて数えた 4 つの解の和は $1 - 1 + 3 + 3 = 6$ で、$-(-6)/1$ と一致する。