4 次方程式 x⁴ − 10x³ + 18x² − 40x − 18 = 0 を解き、実数解を小数第 7 位まで求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   まず有理数の解を排除する。 有理根定理により、有理数の解は $-18$ を割り切るので、候補は $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6, \pm9, \pm18$ である。どれを試しても 0 にならない。たとえば

   $f(9) = 6561 - 7290 + 1458 - 360 - 18 = 351 \ne 0, \qquad f(-1) = 1 + 10 + 18 + 40 - 18 = 51 \ne 0$

   なので、$\mathbb{Q}$ 上の一次の因数は存在しない。とくに $x = 9$ は解ではない。$9 \mid 18$ なので試したくなる候補ではある。

2. 2

   整数係数の 2 つの二次式への分解も排除する。 $f(x) = (x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$ と書くと

   $a+c=-10, \quad ac+b+d=18, \quad ad+bc=-40, \quad bd=-18$

   が要求される。$-18$ の整数の約数の組 $(b,d)$ と整数 $a$ をすべて総当たりしても解はない。惜しい例 $b=9, d=-2$ には注意が要る。これは最初の 2 式を $ac = 11$、$a,c = -5 \pm \sqrt{14}$ として満たすが、そのとき $ad+bc = -35 - 11\sqrt{14} \approx -76.2 \ne -40$ となる。3 つではなく 4 つの条件すべてを確かめなければならない。

3. 3

   符号表で実数解の位置を突き止める。 格子の上で $f$ を計算すると

   $f(-1) = 51, \quad f(0) = -18, \quad f(8) = -210, \quad f(9) = 351$

   となる。符号は $(-1, 0)$ と $(8, 9)$ で入れ替わるので、中間値の定理により各区間に実数解が 1 つずつある。$f$ は $[0, 8]$ の全域で負なので、実数解はちょうど 2 個である。

4. 4

   ニュートン法で精密化する。 $f'(x) = 4x^3 - 30x^2 + 36x - 40$ として、区間の中点から $x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)$ を反復すると

   $x \approx 8.4610649, \qquad x \approx -0.3736462$

   が得られる。40 桁の作業精度ではこれらが $|f(x)| < 10^{-36}$ を満たすので、示した桁はすべて正しい。

5. 5

   残り 2 つの解を説明する。 実数解の対で割ると判別式が負の二次式が残り、複素共役の

   $x \approx 0.9562906 \pm 2.1861170\,i$

   が得られる。したがって実数係数での因数分解は $\left(x^2 - 8.0874187x - 3.1614449\right)\left(x^2 - 1.9125813x + 5.6935992\right)$ であり、どこにも有理数の係数は現れない。

6. 6

   解と係数の関係で確かめる。 4 つの解の和は $10$、積は $-18$ でなければならない。

   $8.4610649 - 0.3736462 + 2(0.9562906) = 9.9999999 \ \checkmark$

   $(8.4610649)(-0.3736462)\left(0.9562906^2 + 2.1861170^2\right) = -18.0000 \ \checkmark$

   どちらの等式も成り立ち、ニュートン法の反復とは独立に数値を突き合わせられる。