すべての実数 x について 0 = 0.7x + 6.804e−10 × x⁴ − 1210.23 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   4 次式を標準形で書く。 次数の順に並べ替えると

   $6.804\times10^{-10}\,x^{4}+0.7x-1210.23=0.$

   $x^{3}$ や $x^{2}$ の項はないが、それで置き換えによって解けるようになるわけではない。奇数次の $x^{1}$ の項があるため、複二次式への帰着はできない。

2. 2

   4 次の項を落としたくなる誘惑に抗う。 $6.804\times10^{-10}$ は無視できそうに見えるので、$0.7x=1210.23$ を解いて $x\approx 1728.9$ と答えたくなる。しかしそれは誤りである。$x=1728.9$ において 4 次の項は

   $6.804\times10^{-10}\times(1728.9)^{4}\approx 6079,$

   であり、これは定数項 $1210.23$ の 5 倍であって、小さな補正などではない。$x$ が大きくなれば、小さな係数はもはや小さな項を意味しない。ここでの境目は $x\approx 1000$ のあたりで、素朴な見積もりよりずっと手前にある。

3. 3

   標本点をとって解を挟み込む。 $f(x)=6.804\times10^{-10}x^{4}+0.7x-1210.23$ を計算すると

   $f(0)=-1210.23,\quad f(500)=-817.71,\quad f(1000)=+170.17,\quad f(1500)=+3284.30.$

   となるので、解は $(500,1000)$ の中にある。$[-5000,5000]$ を掃くと符号の変化はちょうど 2 回、$947$ の近くと $-1332$ の近くで起こる。つまりこの 4 次方程式は実数解 2 個と複素数解 2 個をもつ。

4. 4

   各区間を二分法で詰める。 $|f|<10^{-6}$ になるまで繰り返し半分に割ると

   $x_{+}\approx 947.035581,\qquad x_{-}\approx-1332.142808.$

   $f'(x)=2.7216\times10^{-9}x^{3}+0.7$ を使えば、$x_{0}=1000$ から始めたニュートン法も 3 回の反復で同じ正の値に収束する。

5. 5

   両方を代入して戻す。 $x=947.035581$ では 4 次の項が $547.31$、一次の項が $662.92$ で、$-1210.23$ と合わせると $\approx-3\times10^{-7}$ になる ✓。$x=-1332.142808$ では 4 次の項が $2142.73$、一次の項が $-932.50$ となり、やはり定数項を打ち消す ✓。真の解ではどちらの項も同じくらいの大きさになっていることに注意したい。$1728.9$ を生んだ仮定とは正反対である。