方程式 x²((8.9 − x)² − 64) = (63.9 − 71x)² を解け。

Step-by-step solution

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   展開したくなるのを抑えて、左辺の 2 乗の差を因数分解する。 $64=8^{2}$ なので $(8.9-x)^{2}-64=(8.9-x-8)(8.9-x+8)=(0.9-x)(16.9-x),$ となり、左辺は $x^{2}(0.9-x)(16.9-x)$ である。すべて掛け合わせてしまうと、ただの 4 次式になり、この問題を手計算で解けるものにしている構造が隠れてしまう。

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   右辺も因数分解する。 $71\times 0.9=63.9$ に気づくと $63.9-71x=71(0.9-x)\quad\Longrightarrow\quad (63.9-71x)^{2}=71^{2}(0.9-x)^{2}=5041(0.9-x)^{2}.$ となる。$63.9$ が $71\times 0.9$ であると見抜くことが、この問題全体の要となる観察である。

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   すべてを片側に移して $(0.9-x)$ をくくり出す。 $x^{2}(0.9-x)(16.9-x)-5041(0.9-x)^{2}=0$ $(0.9-x)\left[x^{2}(16.9-x)-5041(0.9-x)\right]=0$ これで 4 次式が一次の因数と 3 次式に分かれた。4 次方程式が、実際に最後まで解ける形になったわけである。

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   厳密な解を読み取る。 最初の因数からは $0.9-x=0\quad\Longrightarrow\quad x=0.9,$ が出る。代入し直すと確かに成り立つ。左辺は $0.81(64-64)=0$ になり、右辺は $(63.9-63.9)^{2}=0$ になる。

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   残った 3 次方程式を解く。 大括弧を展開すると $16.9x^{2}-x^{3}+5041x-4536.9=0\quad\Longleftrightarrow\quad x^{3}-16.9x^{2}-5041x+4536.9=0,$ となり、小数を払えば $10x^{3}-169x^{2}-50410x+45369=0$ である。有理数の解はもたず、数値的に求めた 3 つの実数解は $x\approx -63.548577,\qquad x\approx 0.897443,\qquad x\approx 79.551134.$ である。

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   3 次方程式の解を解と係数の関係で確かめる。 $x^{3}-16.9x^{2}-5041x+4536.9$ について、解の和は $16.9$、2 つずつの積の和は $-5041$、積は $-4536.9$ でなければならない。3 つの数からは $-63.548577+0.897443+79.551134=16.900000$、2 つずつの積の和は $-5041.000000$、積は $-4536.899998$ となり、3 つとも一致する。$0.897443$ が厳密解 $0.9$ にどれほど近いかにも注意したい。差はわずか $0.0026$ なので、丸めた解を厳密解と取り違えやすい。

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   解集合をすべて挙げる。 $x=0.9,\qquad x\approx -63.548577,\qquad x\approx 0.897443,\qquad x\approx 79.551134.$ 4 つとも実数であり、これは差をとった側の最高次の係数が正で符号が 4 回変わる 4 次式と整合している。