(x² − 6x + 1)(x² + x + 1) + 12x² を完全に因数分解せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   積を項ごとに展開する。 前の括弧の各項を分配すると：

   $x^{2}\left(x^{2}+x+1\right)=x^{4}+x^{3}+x^{2},\quad -6x\left(x^{2}+x+1\right)=-6x^{3}-6x^{2}-6x,\quad 1\left(x^{2}+x+1\right)=x^{2}+x+1.$

   これらを足して同類項をまとめると $x^{4}-5x^{3}-4x^{2}-5x+1$ になる。

2. 2

   $12x^{2}$ を足す。 変わるのは 2 次の係数だけである：

   $x^{4}-5x^{3}-4x^{2}-5x+1+12x^{2}=x^{4}-5x^{3}+8x^{2}-5x+1.$

   付け足された $12x^{2}$ は明らかに仕組まれたものである——平凡な 4 次式を因数分解できるものに変えているのがこれである。

3. 3

   係数が回文になっていることに気づく。 係数は $1,-5,8,-5,1$ で、前から読んでも後ろから読んでも同じである。このような 相反 多項式は、そもそも因数分解できる場合にはつねに

   $\left(x^{2}+ax+1\right)\left(x^{2}+bx+1\right)=x^{4}+(a+b)x^{3}+(ab+2)x^{2}+(a+b)x+1,$

   の形になる。この右辺の係数の並びも自動的に回文になる。これに気づけば、あり得る因数分解をやみくもに探さずに済む。

4. 4

   係数を比較して解く。 $1,-5,8,-5,1$ と比べると：

   $a+b=-5,\qquad ab+2=8\ \Rightarrow\ ab=6.$

   和が $-5$、積が $6$ になる数は $a=-2$ と $b=-3$ なので

   $x^{4}-5x^{3}+8x^{2}-5x+1=\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x^{2}-3x+1\right).$

   となる。

5. 5

   残った 2 次式を扱って仕上げる。 最初の因数は完全平方式 $x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}$ である。一方 $x^{2}-3x+1$ の判別式は $9-4=5$ なので、有理数の範囲では因数分解できない（その解は $\frac{3\pm\sqrt5}{2}$ で、黄金比の組である）。有理数の範囲での完全な因数分解は

   $\left(x^{2}-6x+1\right)\left(x^{2}+x+1\right)+12x^{2}=(x-1)^{2}\left(x^{2}-3x+1\right).$

   である。$x=2.1$ で数値を確かめると、もとの式は $-1.0769$、因数分解した形も $-1.0769$ ✓ であり、さらに 2 つのランダムな値でも 9 桁まで一致する。