2x³ + 33x² + 180x − 300 = 0 を解け。実数解は何個あり、その値は何か。

Step-by-step solution

1. 1

   有理根を排除する。 候補は $p\mid 300$ と $q\mid 2$ を満たす $\pm\frac{p}{q}$ である。$f(x)=2x^{3}+33x^{2}+180x-300$ について、あり得そうな小さい値を試すと：

   $f(1)=2+33+180-300=-85,\quad f(2)=16+132+360-300=208,$

   $f(-5)=-250+825-900-300=-625,\quad f(-10)=-2000+3300-1800-300=-800.$

   どれも消えず、他のどの候補も消えない。よってこの 3 次式は有理数体上で既約であり、見ただけで因数分解することはできない。

2. 2

   判別式から実数解の個数を数える。 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ の判別式は

   $\Delta=18abcd-4b^{3}d+b^{2}c^{2}-4ac^{3}-27a^{2}d^{2}=-42{,}120{,}000.$

   $\Delta<0$ なので実数解はちょうど 1 つ、残りは共役な複素数解の組である。これで数値計算に入る前に個数の問題は片づく——実際 $f$ を $[-100,20]$ で走査すると符号変化は 1 か所だけで、$x=1.32$ の近くにある。

3. 3

   実数解を挟み込んで二分する。 $f(1)=-85<0$ と $f(2)=208>0$ から解は $(1,2)$ にある。半分に切って符号が変わる側を残す操作を繰り返すと

   $x\approx 1.321083731.$

   に収束する。検算すると $f(1.321083731)\approx+4.4\times10^{-8}$ ✓。$1.32$ という粗い値では $f\approx-0.30$ が残るので、この解を後の計算に渡すなら余分な桁が効いてくる。

4. 4

   カルダノの公式で厳密値を得る。 $x=t-\frac{b}{3a}=t-\frac{11}{2}$ と置いて 2 次の項を消すと $t^{3}+pt+q=0$ となり、

   $p=\frac{3ac-b^{2}}{3a^{2}}=-\frac34,\qquad q=\frac{2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}=-\frac{1249}{4}.$

   $\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}=\frac{1560001}{64}-\frac{1}{64}=24375$ かつ $\sqrt{24375}=25\sqrt{39}$ なので、カルダノの公式から

   $x=\sqrt[3]{\frac{1249}{8}+25\sqrt{39}}+\sqrt[3]{\frac{1249}{8}-25\sqrt{39}}-\frac{11}{2}.$

5. 5

   閉じた式を高精度で検証する。 この式を 60 桁の演算で評価すると

   $x=1.32108373084131024332679\ldots,$

   となり、代入し直すと $f(x)\approx 2\times10^{-53}$ ✓。2 つ目の 3 乗根の中身は $\frac{1249}{8}-25\sqrt{39}\approx 5.004\times10^{-5}$ という極めて小さい数なので、この形を通常の浮動小数点で評価すると精度が落ちる——実用上は二分法で得た値を書く方が安全である。