すべての実数 x について 0 = 0.7x + 6.804e10 × x⁴ − 1210.23 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   標準形に直し、桁の大きさを見積もる。 並べ替えると

   $6.804\times10^{10}x^{4}+0.7x-1210.23=0.$

   最高次の係数が極端に大きいので、$x$ がまだ非常に小さいうちに $x^{4}$ の項が定数項の大きさに達する。これは最高次の係数が非常に小さく解が大きくなる 4 次方程式とは正反対の状況である。

2. 2

   一次の項を落として最初の見積もりを得る。 支配的な 2 項だけを釣り合わせると

   $6.804\times10^{10}x^{4}\approx1210.23\;\Longrightarrow\;x^{4}\approx1.7787\times10^{-8}\;\Longrightarrow\;|x|\approx0.0115485.$

   ここでは無視することが正当化される。その $x$ において一次の項 $0.7x\approx0.0081$ は $1210.23$ より 5 桁小さいからである。$x^{4}$ は偶数乗なので、この見積もりはただちに解が2 個、$+0.0115$ の近くと $-0.0115$ の近くにあることを示唆する。

3. 3

   符号の変化が 2 回あることを確かめる。 $f(x)=6.804\times10^{10}x^{4}+0.7x-1210.23$ を $[-1,1]$ で掃くと符号の変化はちょうど 2 回、$-0.011549$ と $+0.011548$ の近くで起こる。正の解だけを答えるのは陥りやすい抜けで、答えの半分を失う。

4. 4

   各区間を二分法で十分な精度まで詰める。 $|f|<10^{-12}$ になるまで半分に割り続けると

   $x_{+}=0.0115484893,\qquad x_{-}=-0.0115485279.$

   2 つは互いにほぼ符号違いだが、厳密にはそうではない。$0.7x$ の項が対称性をわずかに崩し、負の解を 0 からほんの少し遠ざけている。よく挙げられる値 $0.0115425$ は精度が足りず、そこでの値は $f\approx-2.51$ であって $0$ ではない。

5. 5

   代入して戻す。 $x=0.0115484893$ では 4 次の項が $1210.222$、一次の項が $0.008084$ で、合わせて $1210.23$ を $9\times10^{-6}$ の範囲で打ち消す ✓。$x=-0.0115485279$ では 4 次の項が $1210.238$、一次の項が $-0.008084$ となり、やはり和が 0 になる ✓。この 4 次方程式の残り 2 つの解は複素共役の対である。