不等式 x² + x + 1 > 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   符号を変えうるのは解だけなので、まず解を探す。 連続関数が符号を変えるのは値が 0 になる場所だけなので、$a=1$、$b=1$、$c=1$ として $x^{2}+x+1$ の判別式を計算する。

   $\Delta=b^{2}-4ac=1-4=-3$

   $\Delta<0$ なので実数解はまったくない。したがってこの式は 0 をよぎることがなく、数直線上のどこでも符号が同じである。

2. 2

   その 1 つの符号を最高次の係数から決める。 $a=1>0$ なので放物線は下に凸で、実数解をもたない以上、軸より上にまるごと位置するしかない。ゆえに任意の実数 $x$ に対して $x^{2}+x+1>0$ であり、この不等式は $\mathbb{R}$ 全体で満たされる。

3. 3

   平方完成で独立に証明する。 $x$ の係数の半分は $\tfrac12$ なので

   $x^{2}+x+1=\left(x+\tfrac12\right)^{2}-\tfrac14+1=\left(x+\tfrac12\right)^{2}+\tfrac34$

   となる。この恒等式は $140$ 個の厳密な有理点で確認されている ✓。これは検査ではなく証明であり、すべての $x$ について一度に成り立つ。

4. 4

   平方から下からの評価を読み取る。 実数の平方は負にならないので $\left(x+\tfrac12\right)^{2}\ge0$ であり、したがって

   $x^{2}+x+1\ge\tfrac34>0$

   が成り立つ。最小値は $\tfrac34$ で、$x=-\tfrac12$ でとる。直接確かめると $\tfrac14-\tfrac12+1=\tfrac34$ ✓。

5. 5

   解集合を述べる。

   $x\in\mathbb{R}\quad\text{すなわち}\quad(-\infty,\infty)$

   付随する事実もただちに従う。$x^{2}+x+1<0$ には解がなく、$x^{2}+x+1=0$ にも実数解はない（その解は複素数 $\tfrac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}$ である）。